郑州大学高等代数研究生考试真题2011年

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2011年攻读硕士学位研究生入学试题

学科、专业：数学、数学各专业研究方向：数学各方向

考试科目：高等代数（A）915 (共2页) 答案一律写在考点统一发的答题纸上，否则无效一填空（每小题5分，共30分）

1

1A为3阶矩阵，A2,A*

4

1

A_______

2k11,0,2,0

T

k20,2,0,4为AX0的通解，

T

A1,A2,A3,A4是A的列向量，A1,A2,A3,A4的极大线性无关组_______

3A为3阶矩阵，A3-2A2-A+2E=0,求A的特征值可能为：_______ 4A是复数域上秩为1的4阶矩阵，A可能的若尔当标准型______ 5忘记了，填空有一定难度

61,2,3,4线性无关，

112,223,334,441.

L1,2,3,4的维数_______

二、计算题+证明题（每小题15分，共120分）

1.A,B是n阶矩阵，已知rArBn;证明：A,B存在公共的特征值.

T

T

2.已知AX=的通解为k12,1,2k22,1,22,2,1,

=9,0,0,求A.

3.D

ddx

,1e,2xe,3xe,4e

x

x

2

x

2x

1求D在1，2，3，4下的矩阵；2求D的值域与核.

4.3阶矩阵A，B有相同的特征多项式和最小多项式，证明：1A与B相似；

2若A，B为4阶矩阵，上面结论是否还成立，说明理由.

5.V是nn矩阵的线性空间，V1是对称矩阵子空间，V2是反对称矩阵子空间，证明：V=V1V2

8

6.A2

2

254

3

2这个矩阵秩为29

1存在32阶矩阵B,rB2,23阶矩阵C，rC2,

使ABC;

2对任意满足A

BC的32阶矩阵B，23阶矩阵C，

有CB为数量矩阵.

7.a,b,c是互不相同的整数，证明：不存在整系数多项式使

fab,fbc,fca

8.A是n维线性空间的线性变换，有n个不同的特征值1，2...n

对应的特征向量为1，2...n，求V中所有A不变子空间

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