专题研究——杨辉三角形

2022-04-10 02:30:12 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

阅读： ] [

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。下载word有问题请添加QQ：admin处理，感谢您的支持与谅解。

【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《专题研究——杨辉三角形》，欢迎阅读！
杨辉,三角形,专题,研究

有趣的杨辉三角形

【教学目的】 1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律； 2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．【教学手段】

课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。【教学思路】

→学生自学教材，然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结【自学教材】；

1．什么是杨辉三角？

二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）

例如，它的兩項的係數是1和1；

，它的三項係數依次是1、2、1；

，它的四項係數依次1、3、3、1。

2．杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明

表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法

出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

3．观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）

4．杨辉三角基本性质

▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律

（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是Cn

r

n!

．

r!(nr)!

（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是

rr1rCnCn1Cn1．

rnr（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即CnCn．

（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即

0n1n11rnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnb

【自学引导】

杨辉三角有趣的数字排列规律

注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各

不同！）

（1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？

K

第2行呢？

第2K-1(k是正整数)行的各个数字均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数

（2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？

如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数)

（3）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

012rn1nn

第n行CnCnCnCnCnCn2

（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．

例如：10＝1＋2＋3＋4， 20＝1＋3＋6＋10，．．．于是有一般性结论：

一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数．

根据这一性质，猜想下列数列的前n项和： 1＋1＋1＋．．．＋1＝ Cn （第1条斜线） 1＋2＋3＋．．．＋Cn1＝ Cn （第2条斜线） 1＋3＋6＋．．．＋Cn1＝ Cn（第3条斜线） 1＋4＋10＋．．．＋Cn1＝ Cn（第4条斜线）．．．

rr1CrrCrr1Crr2Cn1Cn （第r+1条斜线）

3

4

2

3

1

21

（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n≥3)

这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作《算术之法》）．结论：斜线上各行数字的和,正好组成斐波那契数列．

（6）杨辉三角与“纵横路线图”

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种

4

不同的走法？C870

我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有什么有趣的结论

一般地,

每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．（7）计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有什么有趣的联系？

（8）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛，．．．）我国古代数学的伟大成就——堆垛术，学生自行探究

将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数．

本文来源：https://www.dywdw.cn/73f1c7267fd184254b35eefdc8d376eeafaa175f.html