基本不等式中常用公式

2023-04-12 03:08:27 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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基本不等式中常用公式

一、基本不等式中常用公式：

2a2b2(ab)

（1）≥≥ab≥（当且仅当a＝b时，等号成立）

1122ab

（2）ab≤

(ab)

（当且仅当a＝b时，等号成立） 2

（3）a²+b²≥2ab（当且仅当a＝b时，等号成立）

(ab)2（4）ab≤（当且仅当a＝b时，等号成立）

4

（5）||a|－|b| |≤|a＋b|≤|a|＋|b|。（当且仅当a＝b时，等号成立）二、基本不等式不等式的特殊性质有以下三种：

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

二、基本不等式的应用基本不等式应用：

1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。

“一正”“二定”“三相等”，是指在用不等式a+b≥2ab证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求。

一正：a、b 都必须是正数；

二定：在a+b为定值时,便可以知道ab的最大值；在ab为定值时,就可以知道a+b的最小值。

三相等：当且仅当a、b 相等时,等号才成立；即在a＝b时,a+b＝2ab。基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。其可表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。

3、条件最值的求解通常有两种方法：

（1）一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；

（2）二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。

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