三角形角平分线定理

2024-01-31 05:04:26 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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三角形角平分线定理

三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质

三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：

1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。 2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明

现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式： sinα/BD = sinβ/AB (1) sinα/DC = sinβ/AC (2) 将(1)除以(2)，可以得到： (AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1

由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出： AB/BC = BD/DC

这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。三、三角形角平分线定理的应用

三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例： 1. 求角平分线所分角的大小

已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

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