概率论与数理统计期末试题

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哈尔滨工程大学试卷

考试科目:概率论与数理统计 2009.12.13

一、单项选择题（每小题

3分，共15分）

1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为。

(A)110 (B)310 (C)910

(D)1

8 2、设相互独立的两个随机变量X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则

Zmax(X,Y)的分布函数是。

(A)FZ(z)max{FX(z),FY(z)}

(B)FZ(z)max{FX(z),FY(z)}

(C)FZ(z)FX(z)FY(z) (D) FZ(z)FX(x)FY(y) 3、设随机变量X~N(1,4)，Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则。

(A)X2Y~N(1,8) (B)X2Y~N(1,6) (C)X2Y~N(1,2)

(D)X2Y~N(1,1)

4、设X1,X2,,Xn（n2）为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，

S2

为样本方差，则。

(A)nX~N(0,1)

(B)nS2~2(n) (C)

(n1)X

(D)

(n1)X2

1

S

~t(n1) n

~F(1,n1)

X

2i

i2

5、设正态总体N(,2

)的双边检验H0:0，H1:0，2已知，显著性水平为，则H0的拒绝域为。

(A)X

0

nZ

(B)X0



nZ 2(C)XS

0

n

t(n1) (D)XS0nt(n1) 2二、填空题（每小题3分，共15分）

1、在区间[0,L]之间随机地投两点，则两点间距离小于L

2

的概率为。

2、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{XE(X2)}。

3、设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E(X)E(Y)0，E(X2)E(Y2)2，

则E[(XY)2]。

4、设X1,X2,,X10为来自总体X的简单随机样本，且E(X)，D(X)8，

X11010

Xi，利用契比雪夫不等式估计P{4X4}。

i1

5、设总体X服从正态分布N(,1)，从中随机地抽取25个样本，则的置信度为0.95的置信区间的长度L。

(已知(1.96)0.975,(1.645)0.95，其中(x)为标准正态分布的分布函数) 三、计算题（每小题8分，共24分）

1、设A,B为两个事件，P(A)0.3，P(B)0.4，P(AB)0.5，求：（1）P(A)；（2）P(AB)；（3）PB(AB)

.

2、已知连续型随机变量X的分布函数为

0, xF(x)

0cx3,0x1，



1, x1 求：（1）常数c；（2）X的概率密度函数；（3）概率P{1X1

2

}。

3、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求随机变量YX2的概率密度函数fY(y)。

四、计算题（每小题10分，共30分）

1、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)1

,x2y2

1

0,其他

求：（1）（X，Y）的边缘概率密度函数fX(x)和条件概率密度fYX(yx)；（2）概率P{YX}；

（3）随机变量ZX2Y2的概率密度函数fZ(z)。

2、设随机变量X1和X2的分布律为

X2

0 1

X1

1 0

1

p 1112 1

2

p

1

4

2

4

并且P{X1X20}1。

（1）求X1，X2的数学期望以及方差；（2）求(X1,X2)的联合分布律；（3）求X1，X2的协方差；

（4）判断X1，X2是否不相关，是否独立。

3、已知总体X的概率密度函数为

f(x;,)

x1, x



0, x其中0,1为未知参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本。求：（1）当1时，的矩估计量；（2）当2时，的极大似然估计量。

五、证明题（本题满分8分）

设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格品中只有

3

4

的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品。已知每件合格品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少产品？

六、证明题（本题共2小题，每小题4分，满分8分）

1、设随机变量X服从t(n)分布，求证：1

X

2服从F(n,1)分布。

2、证明在一次试验中，事件A发生的次数X的方差D(X)14

。

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