数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题一

2023-04-09 23:09:17 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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【第一课时】

精选例题

例题1 在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC中点，DG⊥AG交

AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=

EB

D

A

1

(ABAC)． 2

G

CF

例题2 △ABC中，∠A的外角平分线交BC延长线于点D，∠B、∠C的平分线交对边于

E、F，求证：D、E、F三点共线．

例题3 梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，BC、AD的延长线交于点F,EF分

别交AB、CD于N、M,求证：AN=NB．

例题4过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB

于点D。求证：

BECF

1． EAFA

例题5 已知点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，且

BDAFCE

，又AD、BE、CF交成△LMN， DCFBEA

求

SVLMN

的值． SVABC

例题6 证明：笛沙格（Desargues）定理：直线AA1、BB1、CC1相交于O点，直线AB

与A1B1交于X，BC与B1C1交于Y，AC与A1C1交于Z，那么X、Y、Z三点共线．例题7 证明：莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、

B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．直线PQR称为△ABC的莱莫恩线．

例题8 如图，⊙O1、⊙O2和⊙O3两两的外公切线分别交于P、Q、

R三点，求证：P、Q、R三点共线．课后练习

1．△ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R,满足AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接QR交CB延长线于P，那么PC : PB=_______．

2．ABCD为平行四边形，BC=12,DC=10,对角线AC与BD交于O,E是BC延长线上一点，且CE=4,OE交DC于F，那么CF=_______．

3．在△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD : DC=m : 1，CE : EA=n : 1，AD与BE交于F，则△ABF与△ABC的面积之比为_______． 4．已知：AJ、BK、CL是△ABC的三个外角平分线，J、K、L

A

是这些线与△ABC三边所在直线的交点，求证：J、K、L三点共线．

B

5．△ABC三边BC、AB、CA的中点分别是D、E、F，设ADCJ

与EF交于P，连接CP交AB于Q，求证：AB=3AQ．

K

6．用梅涅劳斯定理证明：赛瓦（Ceva）定理：在△ABC内任L

取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

R

AFBDCEgg1． FBDCEA

7．用梅涅劳斯定理证明：西姆松（Simson）定理：若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线） 8．用梅涅劳斯定理证明：帕斯卡（Pascal）定理：圆内接六边形ABCDEF的三双对边

的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）

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