圆基本性质(竞赛)

2022-03-28 17:18:31 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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圆的基本性质

〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质〖大纲要求〗

1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个

圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是

最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的

圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；

6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。典型例题

1．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm

2．P与⊙O交于A，B，C，D四点，AQ，CQ为圆的两条弦，弧BQ的度数为42,

A

B

O

C

D

Q

弧QD的度数为38,求PQ__________

3．如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，若AB=10，CD=6，则BE的长为________[1] 4．如图，正方形CDEF的边CD在半圆O的直径上，正方形的过长为1，AC=a, BC=b, 在

P

(1)ab1;(2)ab5;(3)ab1;(4)a2b25，各式中成立的个数为_______[3]

5。如图,四过形内接于⊙O, AD为直径, 若CBE60, 则圆心角AOC________[120] 6．BC为半圆O的直径, A、D为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠D=___________[150]

1 / 3

7．四边形ABCD中，若A:B:C:D5:m:4:n，则四边形ABCD内接于圆的条件是

C________________ C； D8．已知A40，弧BE=弧BC=弧CD，则ACE___________15

9．在⊙O中，弦AB=24，弦CD=10，AB弦的弦心距为5，则CD弦的弦心距为___________ 10．

若AB为⊙O的直径，弦 CDAB于E，AE=16cm，BE=4cm，则CD=________12



A

E

B

AC=________________85 11． 12．

已知弧AB=

1

圆周，AD平分OAB，交OB于D，求ADB的度数___________72 10A



O

已知，ABC中，A70，⊙O截ABC的三条边所截得弦都相等，

C

则BOC为_______________（如图）125

B

二．证明题与计算题

1．在⊙O中，直径AB与弦CD相交，分别过B，O，A向CD引垂线，垂足分别为E，F，G，求证：CE=DG

D A

G

FO

BE

C

2．已知：⊙O中，两弦AB=CD，且交于E点，求证：AE=CE AC

E

DB

3．已知，在ABC中，ADBC于D，其延长线交⊙O于E，CFAB于F，交AD于G，求证：DE=DG

A

F G B

DC

E

4．已知，ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，

A

延长ED交圆于G，求证：AF=AG G

D

C

B

F

2 / 3

E

5．已知CD为垂直于直径AB的弦，在CD的延长线上取一点F，连AF交圆于E，求证：AECDEF

C

AB

D

E

F

13．圆内接ABC为正三角形，P在弧BC上，求证：PA=PB+PC C

AB

D

E F

14．已知：四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4，AB=CB=1，求CD的长。

C

B

A

DO

9．ABC内接于⊙O，P为弧AC的中点，PQ//AB，点Q在BC上，QR//PA，点R在AB上，求证：AR=BQ

A

PRO

BCQ

10．A，B，M，N是⊙O上四点，由点M引弦MA1和MB1，它们分别与直线NB和NA垂直。求证：AA1//BB1

B1

N

M

A

A1

B

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