概率的加法公式

2023-03-19 22:02:36 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《概率的加法公式》，欢迎阅读！
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12．3．1 概率的加法公式 2．任意事件概率的加法公式

任意事件概率的加法公式为 P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式：

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a发生故障的概率为0.08,元件b发生故

障的概率为0.05,元件a,b，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。

解设A={元件a发生故障}，B={元件b发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识可知

C=A∪B。根据题意可知，P（A）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得 P(C)=P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）=0.08+0.05－0.004=0.126. 课堂练习

12．3．2概率的乘法公式 1．条件概率

定义在事件A发生的条件下发事件B发生的概率叫条件概率，记作P（B︱A）。例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。

解设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。

由于事件A已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍有三个，于是由古典概型可知 P（B︱A）=

条件概率有以下计算公式： P（B︱A）=

3

4

P(AB)P(AB)

P（A）≠0 P（A︱B）= P（B）≠0。（12-6） P(A)P(B)

课堂练习

2．乘法公式

由条件概率的计算公式可得

P（AB）=P（A）P（B︱A）=P（B）P（A︱B）（12-7）

公式（12-7）称为概率的乘法公式。

例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？

解设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。则AB={两次都取到正品管子}。因为 P（A）=

65， P（B︱A）=， 109

651

。 1093

所以，由公式（12-7）得

P（AB）=P（A）P（B︱A）=

概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式： P（ABC）=P（A）P（B︱A）P（C︱AB）。 12．3．3 事件的独立性

定义如果事件A（或B）的发生不影响事件B（或A）发生的概率，即P（B︱A）=P（B）或P（A︱B）=P（A），那么事件A、B叫做相互独立事件。

如果事件A、B相互独立，那么两事件的积AB的概率等于两个事件概率的乘积，即

P（AB）=P（A）P（B）

反过来，如果上式成立，那么事件A、B一定相互独立。

A与 B都是相互独立的。如事件A和事件B相互独立，则A与B,A与B，

如果事件A1,A2,，An中任一事件Ai（i=1，2，…，n）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件A1,A2,，An叫做相互独立事件，并且有

（A1）P（A2）（An）P（A1A2An）=P

例5 掷甲、乙两枚硬币，事件A表示甲币出现“正面向上”，事件B表示乙币出现

“正面向上”，计算P（A），P（B），P（B︱A）和P（A︱B）。

解根据题意，全集Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}，所以 P（A）=

212111

,P(B)，P（B︱A）=，P（A︱B）=。 4242,22

由例5可以看出，P（B︱A）=P（B），P（A︱B）=P（A），即事件A、B相互独立。例6 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率。

解设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。由于甲（或乙）是否击中目标，对乙（或

A与B甲）是否击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立的事件，A与B,A与B，

都是相互独立事件。

（1）“两人都击中目标”就是事件AB，由公式（12-9）得

P（AB）=P（A）P（B）=0.6×0.6=0.36

(2)事件”恰有1人击中目标”就是事件ABAB，所以

P（ABAB）=P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)=0.6×（1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.48

(3)事件“至少有1人击中目标”即事件A∪B,

所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P（AB）=P（A）+P（B）－P（A）P（B）=0.6+0.6－0.6×0.6=0.84

或用A∪B的逆事件“两人都未击中目标”也就是AB来计算

P（A∪B）=1－P（AB）=1－P（A)P(B)=1－（1-0.6）×(1－0.6)=0.84 课堂练习：p183.1.2.3.

小结：1、互斥事件概率的加法公式 2、任意事件概率的加法公式 3、条件概率及其求法 4、概率的乘法公式 5、事件的独立性

本文来源：https://www.dywdw.cn/24fa0476cfc789eb162dc852.html