【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《反证法逻辑原理 孙贤忠》，欢迎阅读！
反证法逻辑原理 即证“完备性前提下的原命题的逆否命题” 作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学 邮编：410003） 【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。 【关键词】：反证法 证明 矛盾 逆否命题 一 反证法出现 反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。 反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。 二 反证法所依据的逻辑思维规律 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 1 反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。 三 反证法所依据的逻辑基础 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。 反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是： 欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。 反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明： 某命题：若A则B，则此命题有4种情况： 1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； 2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假； 3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； 4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； ∴一个命题与其逆否命题同真假 与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A 假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的. 但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾. 这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。 这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及且……则B。于是逆否命题就是:若﹁B,则﹁A或﹁C（定义）或﹁D（定理）或﹁E（正确的逻辑推理）或﹁F(客观事实)以及或﹁……，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。 在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。 设A1，A2，…，Am是命题公式， 如果A1 A2…Am是可满足的， 称A1，A2，…，Am是相容的。 如果A1A2…Am是矛盾式， 2 称A1，A2，…，Am是不相容的。 如果要证A1 A2…Am C 只需证明A1 A2…Am C是重言式。 而A1A2…Am C (A1A2…Am)C (A1A2…Am C) 由此可知A1A2…Am C为重言式， 当且仅当A1A2…Am C是矛盾式。 从而得到如A1，A2，…，Am，C不相容（即C(A1A2…Am)这就是A1 A2…Am C的逆否命题得证 ），则C是A1，A2，…，Am的有效结论。 因此我们可以把C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，…，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。 例如：﹁B→﹁A为真，就是﹁B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……→﹁A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真）， 当然也可以是另外的情形，如：﹁B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……则A且C（定义）且﹁D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真）等等。 四 反证法步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若﹁B为真） （2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出﹁A或﹁C（定义）﹁D（定理）或﹁E（正确的逻辑推理）或﹁F(客观事实)以及或﹁……为真） （3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。（即A→B为真） 五 反证法在简易逻辑中适用题型： （1）唯一性命题 （2）否定性题 （3）“至多”，“至少”型命题 ⒈基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理 3 化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。 例1 求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。 证明：假设它们有两个公共点A，B，这两点直分别是a，b 那么A，B都属于a，A，B也都属于b， 因为两点决定一条直线， 所以a，b重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。 ⒉否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。 例2 AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径， 求证：AB、CD不能互相平分。 证明：假设弦AB、CD被P点平分， 由于P点一定不是圆心，连接OP， 则有OPAB,OPCD， 即过一点P有两条直线与OP垂直， 这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦AB、CD不能被P平分。 例3 证明函数y = cosx不是周期函数。 证明：假设函数 y=cosx是周期函数，即存在 T0，使cosxT= cosx 令 x=0，得 T=4kπ 令x=4π222 (k0， kZ， 不妨设 k>0)。 ，得 424k22= 2m (mN) 1k2=mN 4 但是当k>0时， k<1k2，因而1k2不是整数（这否
定了相邻两个整数之间没整数的事实），矛盾 故 函数y = cosx不是周期函数。 例4 求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。
证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即
p=a2+b2，
则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数，
p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾
（这否定了条件p是4n+3型的整数）。
例5证明：△ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把△
ABC
的面积分成相等的两部分。
证明：假设在△ABC内存在一点P，使得过P 点的任一条直线把△ABC的面积分成
相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。
由假设，S△ABD=S△ADC，于是D为
BC
的中点，同 理E、F分别是AC、AB的 中点，从而P是△ABC的重心。
过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则 ，
这与假设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分矛
盾。（这否定了题设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分）
⒊限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。 例6 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证：假设方程至少有两个根x1，x2且x1x2， 则有 f(x1)=f(x2) (x1x2)
这与函数单调的定义显然矛盾（这否定了函数单调的定义），故命题成
立。
例7 平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同
时在这六个圆上。
5
证：题意即这六个圆没有共同的交点。
如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的
线段
中，总有两条线段所成的角不超过60°。
这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内； 否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。（这否定了已
知条件）
例8 若p＞0，q＞0，p3＋q3＝2。试用反证法证明：p＋q≤2。
证明：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的，由此用反证法证之。 假设p＋q＞2，∵p＞0，q＞0， ∴（p＋q）3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8
又∵p3＋q3＝2。代入上式得：3pq（p＋q）＞6。即pq（p＋q）＞2
①
又由p3＋q3＝2得(p＋q)（p2－pq＋q2）＝2
②
由①②得pq（p＋q）＞（p＋q）（p2－pq＋q2) ∵p＋q＞0。
∴pq＞p2－pq＋q2p2－2pq＋q2＜0（p－q）2＜0与(p－q）2
≥0相矛盾。（这否定了实数的平方非负的运算律）） ∴假设p＋q＞2不成立。故p＋q≤2。
⒋唯一性命题，即结果指定唯一的命题。
例9 已知a0,证明x的方程axb有且只有一个根。 证明：由于a0,因此方程至少有一个根x
b
a
如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根 即ax1b ax2b两式相减，得：a(x1x2)=0
因为x1x2，所以x1x20，所以应有a0，这与已知矛盾（这
否定了已知条件），
故假设错误。所以，当a0时，方程axb有且只有一个根。 例10 求证：方程x = sinx的解是唯一的。
证明：显然，x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解α、β(α≠β)，则有sin= ，sin=
6
两式相减得： sin－sin=－ ∴ 2cos ∵ |sin
2
sin
=-
2|
22||
∴ |cos|·||＞
222
得 |cos|＞1（这否定了余弦函数值域【-1，1】的性质），
2
显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。 例11 求证方程 2x+x=6 仅有唯一实根 2。
证明：假设方程 2X+x=6 有一个非 2 的实根a 。
则有 2a+ a =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- a 。 ∵a≠ 2 ，故a＞ 2 或a＜ 2。
当a＞ 2 时， 2a -22 ＞ 0 ，而 2- a＜ 0 ，相矛盾 。
当a＜ 2 时， 2a -22 ＜ 0 ，而 2- a＞ 0 ，也矛盾 。(这否定了逻
辑推理的正确性)
∴假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 ∴不存在非 2 的实根α，即方程仅有唯一实根 2。 六 结束语
反证法证明问题均是两面性的问题，即一个问题只有正反两个方面的结论，若否定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结论，实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”，从而证明原命题的正确性 ！
参考文献:
[1] 全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》．
[2] 蔡上鹤：《高中数学新教材第一章教学问答（二）》，《中学数学教学参考》2000年第8期．
[3] 严镇军 陈吉范：《从反面考虑问题》，中国科学技术大学出版社． [4] 张炳轩：《离散数学》之第九章数理逻辑。
2013年10月28日星期一
|＜|
7
本文来源：https://www.dywdw.cn/329d7a42aa8271fe910ef12d2af90242a895ab93.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2022-07-08
