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高中数学 奥林匹克 探索数学学习本源 研究数学思想方法 关注数学发展动态 拓展数学学习视野 业精于勤 行成于思 第第2929届中国数学奥林匹克届中国数学奥林匹克 江苏 南京 第一天 (2013年12月21日 8:00−12:30) 1.如图1,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边 AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆.证明: △DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充 分必要条件是BE+CF =BC. A E F B D C 图1 2.对大于1的整数n,定义集合 D(n)={a−b|n=ab,a,b为正整数,a>b}. 证明:对任意大于 n1,n2,···,nk,使得 1的整数 k,总存在 k个互不相同且大于 1的整数 D(n1)∩ D(n2)∩···∩D(nk)的元素个数不小于2. 3.证明:存在唯一的函数f :N∗→N∗满足 f(1)=f(2)=1, f(n)=f f(n−1) +f n−f(n−1) , n=3,4,···, ( ) ( ) 并对每个整数m⩾2,求f(2m)的值. 香港鹏博教育科技有限公司 第1页共2页 本文由LATEX编译 高中数学 奥林匹克 探索数学学习本源 研究数学思想方法 关注数学发展动态 拓展数学学习视野 业精于勤 行成于思 第第2929届中国数学奥林匹克届中国数学奥林匹克 江苏 南京 第二天 (2013年12月22日 8:00−12:30) 4.对整数n>1,设n=p ··p l是n的标准分解式.定义 1 ·l ω(n)=l, Ω(n)=α1+···+αl. 是否对任意给定的正整数k及正实数α,β,总存在整数n>1,使得 ω(n+k) >α, Ω(n+k) <β? ω(n) Ω(n) 证明你的结论. 5.设集合X={1,2,···,100},函数f :X→X同时满足 (1)对任意x∈X,都有f(x)=x; (2)对X的任意一个40元子集A,都有A∩f(A)=∅. 求最小的正整数k,使得对任意满足上述条件的函数f,都存在X的k元子集B,使得B∪f(B)=X. 注:对X的子集T,定义f(T)={x|存在t∈T,使得x=f(t)}. 6.对于非空数集S,T,定义 S+T ={s+t|s∈S,t∈T}, 2S={2x|x∈S}, 设n为正整数,A,B均为{1,2,···,n}的非空子集.证明:存在A+B的子集D,使得 D+D⊆2(A+B),且|D|⩾ |A|·|B|. 2n 这里|X|表示有限集X的元素个数. α1 α 香港鹏博教育科技有限公司 第2页共2页 本文由LATEX编译 本文来源：https://www.dywdw.cn/38bb0f746c85ec3a86c2c501.html
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2022-03-21
![2014全国小学数学竞赛决赛-试题[1]](/static/wddqxz/img/rand/1.jpg)
