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初一奥数模拟试题五及答案 1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间． 2．已知两列数 2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3， 5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4， 它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？ 3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件． 4．证明不等式 5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比． 6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值． 7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？ 8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？ 9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？ 解答： 1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得 解之得 总件数xy=8×15=120(件)，即计划用15天完工，工作的件数为120件． 2．第一列数中第n项表示为2＋(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5＋(m-1)×4．要使2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4． 所以 因为1≤n≤200，所以 所以 m=1，4，7，10，…，148共50项． 3． x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为3(a2-p)x＋2(q＋a3)， 所以所求的条件应为 4．令 因为 所以 5．如图1-106(a)，(b)所示．△ABC与△FDE中， ∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE＇，DF=AF＇，连结F＇B．此时，△AE＇F＇的面积等于三角形DEF的面积． ①×②得 6．不妨设商式为x2+α·x＋β．由已知有 x4＋ax3-3x2＋bx＋3 =(x-1)2(x2+α·x＋β)+(x＋1) =(x2-2x＋1)(x2＋α· x＋β)＋x＋1 =x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2＋(1＋α-2β)x＋β+1． 比较等号两端同次项的系数，应该有 只须解出 所以a=1，b=0即为所求． 7．因为 所以正方形的边长≤11． 下面按正方形边的长度分类枚举： (1)边长为11：9＋2=8+3=7＋4=6+5， 可得1种选法． (2)边长为10：9＋1=8＋2=7＋3=6+4， 可得1种选法． (3)边长为9：9=8+1=7+2=6+3=5+4， 可得5种选法． (4)边长为8：8=7+1=6+2=5+3， 可得1种选法． (5)边长为7：7=6+1=5＋2=4＋3， 可得1种选法． (6)边长≤6时，无法选择． 综上所述，共有1+1+5+1+1=9 种选法组成正方形． 8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成 2+2＋3+4+5＋6=22个部分． 现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成 22+7×4=50 个部分． 9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4． 所以，满足题意的三角形共有7个． 本文来源：https://www.dywdw.cn/3d148bef856a561252d36f3c.html
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2022-03-22
