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点圆及点圆系的性质与应用 魏烈斌 湖北荆州中学 点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径零的圆,即点圆。坐标平面上的点P(x0,y0)的方程可记为(xx0)2(yy0)20。由点圆P,直线222l:AxByC0,圆M:(xa)(yb) r(r0)可构成下列圆系: 点P(x0,y0)在圆M上,为非零实数,有圆系D: (xa)2(yb)2r2((xx0)2(yy0)2)0(1) 点P(x0,y0)在直线l上,为非零实数,有圆系 E: (xx0)2(yy0)2(AxByC)0 (2) 直线l与圆M相切于点P(x0,y0),为非零实数,有圆系F: (xa)2(yb)2(AxByC)0 (3) 下面给出D,E,F的性质。 定理1 1)D1是圆M在点P(x0,y0)的切线。 2)D(并且任一与圆M切1)是与圆M相切于点P(x0,y0)的圆,于点P(x0,y0)的圆的方程都能写成(1). 定理2 E是与直线l相切于点P(x0,y0)的圆,并且任一与直线l切于点P(x0,y0)的圆的方程都能写成(2). 定理3 1)存在唯一的实数0,使F0就是点P(x0,y0) 2)F(0) 是与直线l相切于点P(x0,y0)的圆,并且它与圆M也切于点P(x0,y0) 仅对定理3 给出证明.其过程如下: 证 1)由于直线l与圆M相切,所以圆心M(a,b)到直线l的距离为r,从而有 (AaBbC)2(A2B2)r2代入(3)可得 x(aA)y(bB)1(A2B2)AaBbC(4) 224A2B2因为点P(x0,y0)是直线l与圆M的切点,所以点P的坐标满足(3),进而满足(4) 另一方面,当222AaBbC022AB时,(4)表示点P(aAB,b) 22这说明P就是点P,故存在实数0使F0就是点P。 2) 易知F必过点P.当点P的圆.解方程组 ,这说明F是过0时,F的方程为(4)(xa)2(yb)2(AxByC)0(5) (6)AxByC0(5)(6)可得(xa)2(yb)2r2 (7) 由于直线l与圆M相切于点P(x0,y0),所以联立(6)、(7)有唯一解、(6),联立(5)、(7)均有唯一解(x0,y0).这说明(x0,y0).于是联立(5)F(0)不仅与直线l切于点P(x0,y0),与圆M也切于点P(x0,y0). 下面举例说明上述定理的应用. 例1 已知直线l与圆O:x2求直线l的方程. y225切于点P(3,4),2 解 依题意及定理1可知,圆O:x方程为(x2y225在点P(3,4)的切线l的y225)[(x3)2(y4)2]0 即 3x4y250 例2 求过点A(4,1)且与圆(x1)2(y3)25相切于点B(1,2)的圆的方程. 解 由定理1可设所求圆的方程为: (x1)2(y3)25[(x1)2(y2)2]0 (8) 又该圆过点A(4,1),所以有 (41)2(13)25[(41)2(12)2]0 即2 代入(8)整理得所求圆的方程为(x3) 例3 求与圆M点A(3,2(y1)25 :x2y22x0外切,且与直线x3y0相切于3)的圆的方程. 解 设所求圆为C,由定理2 可设C的方程为 (x3)2(y3)2(x3y)0 将其整理为 3[x(3)][y(3)]22 (9) 222因圆C与圆M:x2y22x0即(x1)2y21外切,所以有.即632(31)(3)12222, 解得2或6 代入(9)的圆C的方程为: (x4)2y24或x2(y43)236 例 4 已知直线xym和圆x2y2m(m0)相切,求m的值 . 2 解 由定理3可知存在值,使方程(x表示切点,即方程 (xy2m)(xym)0 )2(Y)2mm表示点圆2222( ,).因此mm0且m,解得m2 222222注:该文发表在《数学通讯 》 2000.13) 本文来源:https://www.dywdw.cn/4bdb548a5222aaea998fcc22bcd126fff7055d90.html