【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《第八讲数列求和,极限和数学归纳法知识方法拓展》,欢迎阅读!
第八讲 一、知识方法拓展 1.常见的幂和公式 (1)12(2)122233数列求和,极限和数学归纳法 nn(n1) 2n(n1)(2n1) n2623(3)12nn(n1) n2注:kk1i22131的一个推导方法:利用组合数的性质,如n2Cn1Cn,n3=6Cn1Cn等 2.数学归纳法的几种形式 (1)第一数学归纳法:如果①当n取第一个值n0,n0N时,命题成立;②假设当*nk(kN*,kn0)时命题成立,由此推得nk1时命题也成立,那么对于一切正整数nn0都成立。 (2) 第二数学归纳法:如果①当n1时,命题成立;②假设当nk(kN,k1)时命题成立,由此推得nk1时命题也成立,那么对于一切正整数n都成立。 (3) 跳跃数学归纳法:如果①当n1,2,3,*,m时,命题成立;②假设当nk(kN*,km)时命题成立,由此推得nkm时命题也成立,那么对于一切正整数n都成立。 (4) 反向数学归纳法:如果①对无穷多个n,命题成立;②假设当nk1(kN)时命题成立,由此推得nk时命题也成立,那么对于一切正整数n都成立。 3.分式型数列极限的运算规则 *(1)limna0a1na2n2b0b1nb2n20apnpapbqnqbqpqpq pqbq (2)假设a1a2ap,b1b2limnc1a1nc2a2nd1bd2bn1n20ccpanppdqbqndqapbqapbq apbq4.常见极限 an0(a0) (1)limnn!nk(2)limn0(a1) nalnn0 nnsinxx(4)limlim1 x0x0xsinx(3)lim11x11(5)lim(1)e,lim(1x)xe, lim(1)x x0xxxxe 二、热身练习 1.(2011复旦)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列。其和为9,且公差非零,对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足( ) A.12k>27 B.12k<27 C.12k=27 D.其他条件 分析与解:由已知易得a33,设a23d,a43d,则a13d32,由a1a2a33dk323d3kd29d3k270 因为满足条件的数列个数大于112k27012k27,选A 2. (2000交大)若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程xpxq0的两个根,则此数列各项的积是( ) A.p B.pm2m2 C.q D.qm2m n22m2分析与解:类比等差数列的各项和公式,得等比数列各项积Tna1anqqm,选C an__________________ 3. (2003复旦)a0,limnn2an0a21an分析与解:比较底数绝对值最大项,得limna2 n2an21a2演变:a0,limnan11an2n_________________ a<1nan11分析与解:比较底数绝对值最大项,可忽略,lim2a=1 nn21an1a>12 三、真题精讲 例1. (2012华约)已知anlg12Sn ,其前n项和为Sn,求lim2nn3n分析与解:anlg(n1)(n2)n1n2lg n(n3)nn323Snlg12limSnlg3 nn134n45n23(n1) lgn3n3 例2. (2001复旦)设数列bn满足b11,bn0,(n2,3,其中a是大于1的常数n1,2,(1)求证:bn是等比数列 (2)求bn中所有不同两项的乘积之和 ),其前n项乘积Tn(an1bn)n, 本文来源:https://www.dywdw.cn/4e579bb6de3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b01f.html