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弹珠游戏中的数学原理 李富宽 （环科院环境工程0911000） 摘要：本文简单介绍了曾风靡一时的弹珠游戏，运用概率论知识深入剖析了游戏巧妙的设计，从而以科学揭开了迷局，树立了以“数学解释错觉，以理性揭穿骗局”的生动范例。 关键词：弹珠游戏；概率；理性；科学；数学美 1. 弹珠游戏简介 1.1游戏背景： 这个游戏其实曾是街头小贩骗取钱财的方式。由于该游戏结果的多样性，因而具有很大的迷惑性，很多人被骗而不明原委（其实小贩并没有做什么手脚），这一切谜团都能得到合理的数学解释。 1.2游戏规则： 一个不透明的袋中装有三种颜色的弹珠各七颗。玩家从袋中一次性抓取12颗，数出每种颜色弹珠的数目，并按由小到大的顺序排列，将所得结果同奖惩榜上的结果比对接受相应的惩罚或奖励，玩家每次花2元钱获得10次抓取机会。下面是奖惩榜: 表1奖惩榜 147 奖20元 057 奖100元 156 奖1元 066 奖50元 237 奖一次抓取机会 246 奖1元 255 奖一次抓取机会 345 罚30元 336 奖5元 444 奖1元 分析：从表面上看奖项设置奖多罚少，且奖励最大金额数（100元）远远超出罚款数（30元）。这样就极大地提高了玩者参与的兴趣。且从主观上难以对哪种结果可能性大做出准确的判断。 2. 用数学知识揭开迷局 2.1计算各可能值概率即每次抓取赢钱期望： 列出各结果对应的概率： 表2各结果所对应的概率值分布 结果 概率 147 0.005 057 156 066 237 246 0.105 255 345 336 444 0.0004 0.021 0.0005 0.015 0.0945 0.525 0.0875 0.146 将奖励为“奖一次抓取机会”视为不奖不罚，则一次抓取所得钱数期望是E(m)=-14.87元， 假设玩家共抓取了十次，则连同抓取机会费用总计：-14.87×10-2=-150.7（元） 到此我们清楚的了解到，游戏设计这正是利用“有一个结果占据一半左右可能性，其他结果数虽多但很分散”的特点，制造了骗局。 2.2游戏设计的深层探究 设计者何以确定每种弹珠的数目为7？且把惩罚最严重的结果给了345，难道是对这个数字的偏爱吗？为什么选择抓取12颗珠子而不是其他？难道这是偶然吗？下面将从游戏设计初期深层挖掘。 在这种前期下，共有C21种选择，是个定值。那么在一定排列数（如345、147等）的概率依赖于结果。而从n个弹珠中拿出r个共有Cn种选择。利用Cnrr1rr/Cn可得到Cn的一个性质。 12 n为奇数时,在r=(n-1)/2和r=(n+1)/2时有最大值，且二者相等； n为偶数时，在r=n/2有最大值。当n=7和n=8时其组合数随r的变化，见图7、8. 而取值的总原则是令Cn最大，且C7C7C7（x+y+z=12且均小于7）集中总个数C21的一半左右，其他选择零散分布。可以得到下面的原则： （1)尽量使x、y、z各不相等。因为不相等时，确定了排列后还得对应3种颜色，即x、y、z和三种颜色对应，有A3种选择。例如结果取345时，共有A3C7C7C7种情况；而取444时有C7C7C7种情况，显然C7C7C7<A3C7C7C7。这从P（345）=0.525而P（444）=0.146也可看出。 3345A3C7C7C7 n为7时组合数取值分布444444334533345rxyz12n为8时组合数取值分布807060504030201000246810 403530252015105002468组合数组合数rr 图1. n为7时组合数取值分布 图2. n为7时组合数取值分布 (2)取12颗弹珠的合理解释。在原则（1）的指导下，结合图1知为使某一结果概率最大，应抓取3颗和4颗，有C7C7C7种，而其中z的取值2和5等效。但取2结果分散，因此抓取3+4+5=12是合理的。 (3)每种颜色的弹珠抓取7个的合理解释。 A.首先应该注意到n为奇数时和偶数时，组合数-r图形特点。n为奇数时，有两个峰值点；而取偶数时有一个峰值点。在“尽量使不同颜色球的个数不相等”的原则下，n取偶数较奇数集中。 例：当每种颜色球共8颗时，其分布为图2。按上述原则取345则概率为334512A3C8C8C8/C24=0.487<0.525;为了安全起见，我们计算都取峰值点时即444的概率，但34zP(444)=0.126这进一步验证了原则（1）的合理性。
B.其次，7这个数目适中，易于玩家选择。这没有什么科学依据但很重要。 C.可能考虑到数字“7”在中国传统文化中的特殊地位。
数字产生于远古时代，它“是人类思维发展到一定阶段，为适应社会生产活动的需要，在符号的帮助下产生的”。[1]
“在古代中国文化中，'七’是最神秘的一个数字，具有丰富的意蕴。如：中国古代神话传说中女娲用七天完成了开辟鸿蒙和创造万物的伟大事业；东南西北各有七位神灵合称二十八宿；玉皇大帝有七个仙女，台上老君炼丹药七七四十九天；佛塔都有七层，所以救人一命胜造七级浮屠；人头上都有七个孔窍，人人都有七情六欲；中国传统五男二女为理想数字。因此七意味着长久庄严和神圣。”[2]
本文来源：https://www.dywdw.cn/51de5202bed5b9f3f90f1cc3.html
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2022-12-31
