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“不空也不满”与“方案决策” ——例析用不等式组解决生活问题 晋三中 刘华 不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的重要数学模型，利用不等式(组)可以解决生活中的一些实际问题，其中，“不空也不满”型问题和“方案决策”型问题又是近年中考的热点题型，下面结合具体实例解析如下： 一、“不空也不满”型问题 例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有多少辆汽车？多少吨货物？ 分析：解决此类问题的关键在于正确理解“不空也不满”的意思，可以先考虑“不满”是什么意思？再考虑“不空”是什么意思？然后再结合起来考虑，最终将它译成数学语言。本题“最后一辆汽车不满也不空”的意思是这一辆汽车装的货物大于0吨而小于8吨。另外，此类题型比较有规律性，它有两个条件，中间用分号隔开，第一个条件用来设未知数，第二个条件用来列不等式组。本题具体解法如下： 解：设有x辆汽车，则共有(4x20)吨货物，依题意知：最后一辆汽车装的货物大于0吨，小于8吨，而最后一辆汽车装的货物=总货物－其余汽车装的货物。注：其余汽车为(x－1)辆。于是有 (4x20)8(x1)0 解得：5x7 (4x20)8(x1)8∵x是正整数 ∴x取6，总货物=4×6+20=44(吨) 答：有6辆汽车，44吨货物。 【针对练习】将一筐苹果分给若干儿童，如果每人分4个苹果，则剩下9个苹果；如果每人分6个苹果，则最后一个儿童分得的苹果将少于3个，问：共有几个儿童？几个苹果？ 二、“方案决策”型问题 例：今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。 ⑴该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？ ⑵若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？ 分析：①本题的主要关系式为：甲货车装的荔枝+乙货车装的荔枝≥30吨；甲货车装的香蕉+乙货车装的香蕉≥13吨，通过解不等式组求出甲(或乙)车辆数的取值范围，从而得到方案数。 第 1 页 共 2 页 ②要判断哪种方案运费最少，可用列举法分别求出各种方案的运费，再比较数值大小来确定。另外也可以建立一个总运费的一次函数模型，通过一次函数的增减性来确定最少运费的方案。 解：⑴ 设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(10x)辆，依题意得： 4x2(10x)30 解得：5x7 x2(10x)13∵x是正整数 ∴x取5，6，7，即安排甲、乙两种货车共有三种方案： ①甲货车5辆，乙货车10-5=5辆； ②甲货车6辆，乙货车10-6=4辆； ③甲货车7辆，乙货车10-7=3辆； ⑵ 方法一： 方案①需要运费=2000×5+1300×5=16500(元) 方案②需要运费=2000×6+1300×4=17200(元) 方案③需要运费=2000×7+1300×3=17900(元) ∵16500＜17200＜17900 ∴方案①运费最少，最少运费是16500元。 方法二：设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(10x)辆，总运费为W 元，依题意得：W=2000x+1300(10x)，化简得： w700x13000 ( 5x7) ∵在一次函数w700x13000中，ｋ=700＞0，W与x同增同减 ∴当x取最小值5时，W最小，W最小=700×5+13000=16500(元) 【针对练习】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千元，计划用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品要用甲原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品要用甲原料4千克，乙种原料10千克。请根据条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？并设计出来。 总之，对于不等式(组)的应用题，我们要从题目中挖掘出所隐含的数量关系：运输问题中，运输量≥总货量，(全部运完，宁可车不装满，也不能剩)，生产问题中，所用原料量≤总原料量，(宁可不用完，也不能不够用)。当然，对于不同问题还需考虑具体条件，因题而异，仔细分析。生命在于运动，知识在于运用，运用不等式(组)，我们还可以解决很多的生活问题。 第 2 页 共 2 页 本文来源：https://www.dywdw.cn/52967f09f12d2af90242e675.html
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2022-07-10
