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2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题 2004年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校：复旦大学 一、填空题(每题8分，共80分) 1．设x81(x42x21)(x4ax21)，则a= . 2．已知|5x+3|+|5x−4|=7，则x的取值范围是 . x2y23.椭圆1内接矩形的周长最大值是 . 1694.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法． 5．已知等比数列an中a1=3, ，且第l项至第8项的几何平均数为9，则第3项为 . 6．若x2(a1)xa0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是 . (x4)2y2x2y21,则的最大值为 . 7．己知494928．设x1、x2是方程x−xsin＋cos=0的两个实数解，那么arctanx1+ arctanx2= . 35359.方程zz的非零解是 . 10．方程y21x1x3的值域是 . 二、解答题(每题15分,共120分) 1.解方程: log5(xx3)1. 2.已知sin() 3．已知过两抛物线C1：x＋1=(y−1)2，及C2： (y−1)2＝−4x−a+11的一个交点的两条切线互相垂直，求a的值． 124,sin(),且0,0,,求tan2. 13524．若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|≤M．则称函数f(x)有111界,函数f(x)=sin在x0,上是否有界？ xx25.求证: 1 第 1 页 共 52 页 1231331n33. 6.已知E是棱长为a的正方体ABCDA1BC11D1的棱AB的中点,求点B到平面A1EC的距离. 7.比较log2425与log2526的大小,并说明理由. 8.已知数列an,bn满足an1an2bn,且bn16an6bn,又a12,b14, 求:(1) an,bn,;(2)1imliman. nbn 2004年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校：上海交通大学 一、填空题(每题4分,共40分) 1．已知x、y、z是作负整数,且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的取值范围是 ． 2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 . 3．函数ysinxcosx0x的值域是 . 24．已知三角形又边的长a、b、c均为正整数，且a≤b≤c，b=n，则满足条件的三角形r 的个数为 5．设x2+ax+b和x2+bx+c的最大公因式为x+1，最小公倍式为x3+(c−1)x2+(b+3)x+d，则(a,b.c,d)= 6．已知1a2，则方程a2x22|x|的相异实根的个数是 . 8182004367．整数7的个位数是 . 8．已知数列{an}满足a1=l,a2=2,且an23an12an,则a2004= . 9．在n×n的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 . 10．已知6xyzabc7abcxyz，则xyzabc . 二、解答题(本大题共60分) 1.已知矩形的长、宽分别为a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长. 2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:⋯:a,求二项式的次数与a的值,以及各项的二项式系数. 3.已知f(x)=axx(58a)x6x9a ,证明: 432(1)恒有实数x,使f(x)=0, (2)存在实数x，使f(x)的值恒不为0. 1x4.已知f1(x)= ,对于一切正整数n,都有fn1(x)f1[fn(x)], 且f36(x)f6(x),求1xf28(x). 5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹. 第 2 页 共 52 页 6．已知｛an｝是公差为6的等差数列，bn1an1an(n∈N+). (l)用a1、b1、n表示数｛an｝的通项公式； (2)若a1＝b1=a，a∈[27,33]，求an的最小值及取最小值时n的值． 2005年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校：复旦大学 一、填空题(每题5分,共50分) 1．已知集合A={x|log2(x2x1)0,xR},B={x|2x21x1,xR},则AðRB= . 2.设数x满足x＋11300=−1,则x300= . xx3．圆＝53sin−5cos的圆心的极坐标为 ,其中[0,2). 4．设抛物线y=2x2+2ax+a2与直线y=x+1交于A，B两点, 当|AB|最大时,a＝ . 5．计算：lim(nn1nn1)= . n226．化简：l+3+6＋…＋n(n1)= . 27．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l个女生的概率为 . 8．写出31000在十进制中的最后4位 . 9．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f10.函数y＝x2002=4015−x(x≠1), 则f(2004)= . x11sinx的最大值是 . 2cosx二、解答(本大题共70分) x2y21.在四分之一个椭圆221(x0,y0,a,b0)上取一点P,使过点P椭圆的切线与坐标轴所成ab的三角形的面积最小. 2.在ABC中,已知tanA:tanB:tanC1:2:3,求AC. AB3．在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中, E、F、G分别是AD、AA1、A1B1的中点,求： (l)点B到面EFG的距离；(2)二而角G−EF−D1的平面角. 4．求方程410x47x=3的实数根． 5.已知sincosa(0a2),求sincos关于a的表达式. nn第 3 页 共 52 页 6．设直线l与双曲线xy=l交于P、Q两点，直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,求证：|AP|=|BQ|. 4x17．已知定义在R上的函数f(x)=x,Snf42n2fn11S2S3n1f,n=1,2,3⋯, n1M? Sn1(1)求Sn；(2)是否存在常数M>0对，对任意n2,有2005年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校：上海交通大学 一、填空题(每题5分，共50分) 1.已知方程xpx2144=0(pR)的两根x1,x2满足x1x222,则p= . 22p2.设sinxcosx8841,x0,,则x= . 1282n113.已知nZ,且1n1120042004,则n= . 4．如图，将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为62的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 . 第4题图 5．已知2333x3y,x,yQ,则(x,y)= . 12n122226．化简：24682n2= . 7，若z＝1，且zC，则z＋2z＋2z+20= . 8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 . 10．已知等差数列｛an｝中,a3＋a7+a11+a19=44，则a5+a9+a16＝ 第 4 页 共 52 页 33 二、解答题(本大题共50分) 1.已知方程x3+ax2+bx＋c＝0的三根分别为a、b、c，且a、b、c是不全为零的有理数,求a、b、c的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (l)最大角是最小角的两倍？ (2)最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． ax28xb3．已知函数y=的最大值为9，最小值为1．求实数a、b的值 2x1 4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于y的函数关系式(假设贷款时间为2年). 5．对于数列an:1,3,3,3,5,5,5,5,5,⋯, 即正奇数k有k个·是否存在整数r，s，t，使得对于任意正整数n, 都有anr[ns]t恒成立([x]表示不超过x的最大整数)? 2006年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校：复旦大学 选择题(共150分，每题5分,答对得5分，答错例扣2分，不答得0分) 1．在(x2−110)的展开式中系数最大的项是_____. xA．第4、6项 B．第5、6项 C．第5、7项 D．第6、7项 2．设函数y=ƒ (x)对一切实数x均满足ƒ (5+x)=ƒ(5−x)，且方程ƒ (x)=0恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为____. A．10 B．12 C．18 D．30 3．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a−5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得XX∪Y成立的所有a的集合是_____. A．｛a｜0≤a≤7｝ B．｛a｜3≤a≤7｝ C．｛a｜a≤7｝ D．空集 4．设z为复数，E=｛z｜(z−1)2=|z−1|2｝，则下列_ __是正确的 A．E={纯虚数} B．E={实数} C．{实数}E{复数} D．E={复数} (y1)25．把圆x+(y−1)=1与椭圆x+=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____. 9222A．线段 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．四边形 6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小是___. A．60° B．75° C．90° D．105° 7．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示： 货物 甲 乙 体积 每箱(米3) 20 10 重量 每箱(吨) 10 20 第 5 页 共 52 页 利润 每箱(百元) 8 10 托运限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润是______百元. A．58 B．60 C．62 D．64 8．若向量a+3b垂直于向量7a−5b，并且向量a−4b垂直于向量7a−2b，则向量a与b的夹角为___ ___. A．； B．； C．； D．. 23469．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____. A．1111 B． C． D． 20406090310．已知sin，cos是关于x的方程x2−αx+α=0的两个根，这里α∈R.则sin3+cos=___. A．−1−2； B．1+2； C．−2+2 D．2−2 11．设z1，z2为一对共轭复数，如果|z1−z2|=6且z1为实数，那么|z1|=|z2|=____. 2z2A．2 B．2 C．3 D．6 12．若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是V(x)，则函数V(x)在其定义域上为____. A．增函数但无最大值 B．增函数且有最大值 C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值 13．下列正确的不等式是____. A．16<k112012011<17； B．18<<19； kkk112011<21； D．22<<23. kkk1C．20<k112014．设{αn}是正数列，其前n项和为Sn，满足：对一切n∈Z+，αn和2的等差中项等于Sn和2的等比中项，则limn=______. xnA．0 B．4 C．12 D．100 15．已知x1，x2是方程x2−(α−2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根，则x12+x22的最大值为______. A．18 B．19 C．20 D．不存在 16．条件甲：1sin=α.条件乙：sin+cos=α.则下列________是正确的. 22A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 17．已知函数ƒ(x)的定义域为(0，1)，则函数g(x)= ƒ(x+c)+ƒ(x−c)在0
1
时的定义域为____. 2
A．(−c,1+c); B．(1−c,c); C．(1+c,−c); D．(c,1−c);
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18．函数y=2x+12x的最值为____.
555，ymax=； B．无最小值，ymax=； 4445
C．ymin=，无最大值 D．既无最小值也无最大值
4
A．ymin=
19．等差数列{αn}中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，Sn是前n项之和，则下列___是正确的. A．S1，S2，S3均小于0，而S4，S5，…均大于0 B．S1，S2，…，S5均小于0，而S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…，S9均小于0，而S10，S11，…均大于0 D．S1，S2，…，S10均小于0，而S11，S12，…均大于0
20．已知角θ的顶点在原点，始边为x轴正半轴，而终边经过点Q(3，y)，(y≠0)，则角θ的终边所在的象限为___.
A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第四象限或第一象限
21．在平面直角坐标系中，三角形△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(−5,−2),则∠A的平分线所在直线的方程为_____.
A．7x−y−17=0; B．2x+y+3=0; C．5x+y−6=0; D．x−6y=0.
22．对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程
1
表示的不同双曲线条数为_____. n
1Cmcos
A．6 B．9 C．12 D．15
23．设有三个函数，第一个是y=ƒ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是______.
A．y=−ƒ(x)； B．y=−ƒ(−x)； C．y=−ƒ−1(x)； D．y=−ƒ−1(−x)；
24．设ƒ(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x∈[2，3]时，ƒ(x)=x，则当x∈[−2,0]时，ƒ(x)的解析式为_____.
A．x+4; B．2−x; C．3−|x+1|; D．2+|x+1|. 25．已知α,b为实数，满足(α+b)59=−1,( α−b)60=1,则α59+α60+b59+b60=_____. A．−2 B．−1 C．0 D．1
22232n
26．设αn是(2−x)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则极限lim(…)=________.
xn23
n
A．15 B．6 C．17 D．8 27．设x1,x2∈(0，
1
21(3)2
(1)
)，且x1≠x2，不等式成立的有 2
xx2xx21
(tanx1+tanx2)>tan1; (2) (tanx1+tanx2)1;
222xx2xx21
(sinx1+sinx2)>sin1; (4) (sinx1+sinx2)>sin1
222
A．(1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4)
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x2
28．方程ƒ(x)=2x2
x1x3
2x12x3=0的实根的个数为_______.
3x33x23x5
A．1个 B．2个 C．3个 D．无实根
29．如图所示，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积α和b有_____.
A．α>b B．α C．α=b D．无法确定
C
a
b
B
A
30．设a,b是不共线的两个向量.已知PQ=2a+kb，QR=a+b，RS=2a−3b.若P，Q，S三点共线，则k的值为_____.
A．−1； B．−3； C．
43； D．； 35
2006年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校：上海交通大学
一、填空题(每题5分，共50分)
1．矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=____．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是
_________．
3．2005！的末尾有连续________个零．
4．(x2x2)10展开式中，x项的系数为__________．
5．在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为
3
,,,且90，则塔高为______________．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏中，甲获胜的概率为___________．
7．函数ylog3(x2axa)在(,13)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 8．是x1的非实数根，(1)(1)=_____________．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值． 10．已知ak
5
2
k2
，则数列{an}前100项和为___________．
k!(k1)!(k2)!
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二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分) 11．a,b,cR，abc0，bc，a(bc)x2b(ca)xc(ab)0有两个相等根，求证：
111
,,成等差数列． abc
x22
12．椭圆2y1(a1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直
a
角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由．
13．已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值．
14．若函数形式为f(x,y)a(x)b(y)c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项式，b(y),d(y)为关于y的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由． (1) 1+xy； (2) 1+xy+x2y2．
15．设k9,解方程x32kx2k2x9k270．
2006年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校：北京大学
解答题(本大题共200分) 1.(本题20分)求和
(1)7+77+777+⋯+777
n个7
7
2005
(2)2005+20052005+200520052005+⋯+20052005
n个2005
2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且 (1)对于任意a[0,1],f(x)a只有一解; (2)对于任意a[0,1],g(x)a有无穷多个解.
3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.
4.(本题15分)对于任意nN，x1,x2,法证明：(1x1)(1x2)
5.(本题20分)求证:Cn
*
,xn均为非负实数，且x1x2xn
1
，试用数学归纳2
(1xn)
02
1
成立. 2
22n
CC
12n
n
CnC2nn
2
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x2axb
6.(本题20分)当实数a、b满足何条件时,可使21恒成立?
x2x2
7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解;若不能，请说明理由． (1)x＋1；(2)xx1; (3) xxx1；(4) xxxx1. 8.(本题20分)解三角方程：asin(x＋
2
3
2
4
3
2
)=sin2x＋9，其a为实常数. 4
x2
y21, 曲线C关于直线y=2x对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”9.(本题20分)已知曲线C:4
关于直线y＝−
1
x+5对称，求曲线C’、C”的方程． 2
2006年名牌大学自主招生考试试题(4) 适用高校:清华大学
解答题(本大题共100分)
1．(本题10分)求最小正整数n，使得I(
12
123
i)n为纯虚数，并求出I．
2．(本题10分)已知a、b为非负数，Ma4b4,ab1，求M的最值．
sin、cos为等差数列，sin、sin、cos为等比数列，求3．(本题10分)已知sin、
1
cos2cos2的值．
2
4．(本题10分)求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．
5．(本题15分)随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．
6．(本题15分)yx上一点P(非原点)，在P处引切线交x、y轴于Q、R，求
2
PQPR
．
7．(本题15分)已知f(x)满足：对实数a、b有f(ab)af(b)bf(a)，且f(x)1，求证:f(x)恒为零．
(可用以下结论：若limg(x)0,f(x)M，M为一常数，那么lim(f(x)g(x))0)
x
x
8. (本题15分)已知A、B、C为ABC的三个内角,它们所对的边分别a、b、c,求证:
cosBcosC
2aA
4sin. bc2
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(在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明?)
2007年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:复旦大学
选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)
1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个. A.20 B.26 C.30 D.36
2．若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a−1)+lg(b−1)= . A.lg2 B.1 C.不是与a、b无关的常数 D.0
1
的值是 . z
343434
i D.i A．3＋4i B.i C.
5515152525
6k16k1
2x)+cos(2x)=23sin(2x),其中x为实数且k为整数.4．已知函数f(x)=cos(333
3．已知z∈C，若∣z∣＝2－4i，则则f(x)的最小正周期为 .
A．
B. C.π D.2π 32
55
B.a≥ C.0 D.a≥1 44
5．已知A＝｛(x,y)∣y≥x2｝,B={(x,y)∣x2+(y−a)2≤1}.则使A∩B＝B成立的充分必要条件为 . A.a=
6．已知平面上三角形ABC为等边三角形且每边边长为a，在AB和BC上分别取D，E两点使得AD＝BE＝
a
，连接A，E两点以及C，D两点.则AE和CD之间的最小夹角为 . 3aaA. B. C. D.以上均不对
933
7．已知数列｛an｝满足3an+1+an=4,(n≥1),且a1=9, 其前n项之和为Sn,则满足不等式∣Sn−n−6∣<
1
的125
最小整数是
5
. 4
A.6 b.7 C.8 D.9
8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 .
A.120 B.260 C.340 D.420
9．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为红球率为 .
A．
12
，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为.则从乙袋中摸到33
7191322 B. C. D. 9454530
x1
10.方程f(x)=2x1
x2x3
2x22x3=0 的实根的个数是 .
3x24x34x5
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A．1个 B. 2个 C.3个 D.无实根 11．已知a,b 为实数，满足(a+b)=−1,(a−b)=1,则A.0121 B.−49 C.0 D.23 12．a=
59
60
nn(ab)＝ . n1
60
1
是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a−2)x+(a+2)y−3=0相互垂直”的 . 2
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
13．设函数y=f(x)对一切实数x均满足f(2+x)=f(2−x)，且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 .
A.0 B.10 C.12 D.14
14.已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan
2
=sinγ,则下列四个表达式:
(1)tanαtanβ=1 (2)02 (3)sin2α+sin2β=1 (4)cos2α+cos2β=sin 2γ中，恒成立的是 .
A.(1)(3) B.(10(4) C.(2)(3) D.(2)(4)
15．设Sn=1+2+…+n,n∈N.则lim
n
2nSn
＝ .
(n32)Sn1
11 C. D.64
1632
a2i
16．复数z=(a∈R,i=1)在复平面上对应的点不可能位于 .
12i
A.2 B.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17．已知f(x)=asinx+b3x＋4(a,b为实数)且f [lg(lg310)]=5，则f [lg(lg3)]= . A.−5 B.−3 C.3 D.随a,b取不同值而取不同值 18．已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝
，PD⊥平面ABCD，线段PD＝AD，3
点E是AB的中点，点F是PD的中点，则二面角P－AB－F的平面角的余弦值＝ .
A．
1255737 B. C. D. 251414
19．在(23)50的展开式中有 项为有理数.
A.10 B.11 C.12 D.13
20．棱长为a的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 .
A．无法确定 B.a C.
3355
a D.a 22
x2y2
21．在集合{1,2，…11}中任选两个作为椭圆方程221中的a和b，则能组成落在矩形区域
ab
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{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆个数是 .
A.70 B.72 c.80 D.88
22．设a,b,c为非负实数，且满足方程4
5a9b4c
682
5a9b4c
2560，则a+b+c 的最大值和最
小值 .
A.互为倒数 B.其和为13 C.其乘积为4 D.均不存在
23．给定正整数n和正常数a，对于满足不等式大值＝ .
A．
a12+an+12≤a
2n1
的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式
in1
a
1
的最
10a5a10a5a
n C.(n1) D.(n1) B.n 2222
24．设z0(z0≠0)为复平面上一定点，z1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z1−z0|=|z1|,z为复平面上另
一个动点满足z1z=−1.则z在复平面上的轨迹形状是 .
A.一条直线 B.以
11
为圆心，为半径的圆
z0z0
C.焦距为2
1
的双曲线 D.以上均不对 z0
25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为 . A.
3332333a B.a3 C. a D. a 1242424
1
时的定义域为 . 2
26．已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x−c) 在 0＜A.(1−c,2+c) B.(c,2−c) C.(1−c,2−c) D.(c,2+c) 27．设函数f(x)=sin(2x+),(−π<<0),y=f(x)图象的一条直线x=
.则的值为 . 8
A.
4
B.
33 C.－ D.2π 44
28．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x∈[2,3]时，f(x)=−x,则当x∈[－
2,0］时，f(x)的表达式为 .
A．−3+|x+1| B.2−|x+1| C.3−|x+1| D.2+|x+1|
29．当a和b取遍所有实数时，则函数f(a,b)=(a+5−3|cosb|)2+(a−2)|sinb|)2所能达到的最小值为 .
A.1 B.2 C.3 D.4 30．对任意实数x,y,定义运算xºy为xºy＝ax+by+cxy，其中a,b,c为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1º2＝3,2º3＝4且有一个非零实数d，使得对于任意实数x均有xºd=x，则d= .
A.－4 B.－2 C.1 D.4
2007年上海交通大学冬令营数学试题
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90分钟答题时间
填空题(每小题5分，共50分)
1. 设函数fx满足2f3xf23x6x1，则fx_______________. 2. 设a,b,c均为实数，且364，则
a
b
11
_______________. ab
x2
3. 设a0且a1，则方程a1x2x2a的解的个数为_______________.
4. 设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________. 5. 11!22!33!nn!_______________.
6. 设不等式xx1y1y与x2y2k的解集分别为M与N.若MÜN，则k的最小值为_______________.
7. 设函数fx
x
，则S12fx3f2xx
nfn1x_______________.
25
，则a_______________. 2
8. 设a0，且函数fxacosxasinx的最大值为
9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________.
10. 已知函数f1x
2x1*
，对于nN定义fn1xf1fnx，若f35xf5x，则x1
f28x_______________.
计算与证明题(每小题10分，共50分)
11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒
O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直
深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r10mm，h4mm时，R的值.
h
12. 设函数fxsinxcosx，试讨论fx的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.
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13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线xy2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离此时M点的坐标.
14. 设fx1ax4x33a2x24a，试证明对任意实数a： ①方程fx0总有相同实根； ②存在x0，恒有fx00.
15. 已知等差数列an是首项为a，公差为b，等比数列bn的首项为b，公比为a，n1,2,3,其中a,b均为正整数，且a1b1a2b2a3.
①求a的值；
②若对于an，bn，存在关系式am1bn，试求b的值； ③对于满足②中关系式的am，试求Sa1a22007年北大自主选拔录取联合考试数 学 试 题
，
am的值.
1、已知f(x)x253x196|x253x196|,求f(1)f(2)f(3)
f(50).
2、求证：对任意实数k,x2y22kx(2k6)y2k310恒过两定点.
xy2xy1,
3、解方程组yz2z3y8,
xz4z3x8.
4、长方体中a,b,c为棱长，abc，求沿长方体表面从P到Q的最小距离（其中P,Q是长方体对
角线的两个端点).
5.(本题20分)已知a>0,b>0,求证:
11aba2b
1n
.
anb1n1
abab22
2007届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题(2006年12月30日)
ex
1.求f(x)的单调区间及极值.
x
2.设正三角形T1边长为a，Tn1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求lim
n
A
k1
n
k
.
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3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.
D 0.94 A 0.90
C 0.95
B 0.95 E 0.94
求：(1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率.
4.(1)求三直线xy60，y
1
x，y0所围成三角形上的整点个数； 2
y2x,
(2)求方程组y1x,的整数解个数.
2xy60
5.已知A(1,1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy1(x0)一支上. (1)求证B、C关于直线yx对称； (2)求△ABC的周长.
22
r0{PRPP0r}M.判6.对于集合MR，称M为开集，当且仅当P，，使得M0
断集合{(x,y)4x2y50}与{(x,y)x0,y0}是否为开集，并证明你的结论.
2008年名牌大学自主招生考试试题(1) 适用高校:复旦大学
1.已知a,b,c是不完全相等的任意实数.若xa2bc,yb2ac,zc2ab，则x,y,z的值_______.
A、都大于0； C、至少有一个小于0；
B、至少有一个大于0； D、都不小于0
2.已知关于x的方x26x(a2)|x3|92a0有两个不同的实数根，则系数a的取值范围是_______.
A、a0或a2； 3.在二项式(x
12
B、a0； C、a2或a0； D、a2
1
n)的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的有理项的项数为_____. 1
2x4
A、2； B、3；
C、4；
D、5
4.设a1和a2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足|a1|a2|3.则
(2a15a2)(3a1a2)_____.
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A、
1； 2
B、
1
； 2
C、
11； 2
D、
11 2
5.在复平面上，满足方程zzzz3的复数z所对应的点构成的图形是__ ___.
A、圆； B、两个点； C、线段； D、直线
6.在如图所示的棱长均为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点.则线段MN的长度为___ __.
A、
1
； 2
D
B、2；
C、
1； 3
D、2
N
A
M
B
C
7.过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点.则三角形△ABO是一个_____.
A、等边三角形； B、直角三角形； C、不等边锐角三角形； D、钝角三角形
8.设f(x)的定义域是全体实数，且f(x)的图形关于直线xa和xb对称，其中ab.则f(x)是_____.
A、一个以ba为周期的周期函数； C、一个非周期函数；
B、一个以2b2a为周期的周期函数
D、以上均不对.
9.二项式(1x)100的展开式中系数之比为33：68的相邻两项是________. A、第29、30项； 10.方程|x3|(xA、一个；
2
B、第33、34项；
=1有____解.
C、第55、56项； D、81、82项
8x15)/(x2)
B、两个； C、三个； D、四个.
11.已知a0，函数f(x)ax3bxcxd的图像关于原点对称的充分必要条件是____. A、b0；
B、b0,c0；
C、cd0； D、bd0
12.设an是正数数列，其前n项和为Sn，满足：对所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则lim
Snan
=_____.
n4n2
1
A、0； B、1； C、；
2
D、
1 4
13.四十个学生参加数学奥林匹克竞赛.他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题.具体情况如下表所述：
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问题 代数学问题 几何学问题 三角学问题
代数学问题和几何学问题 代数学问题和三角学问题 几何学问题和三角学问题
解决问题的学生数 20 18 18 7 8 9
其中有三位学生一个问题都没有解决.问三个问题都解决的学生数是___ ____.
A、5； B、6； C、7； D、8
14.方程3xe0的实根_____. A、不存在；
B、有一个；
C、有两个；
D、有三个.
2
x
15.当不等式tan2(cos42x2)4atan(cos42x2)22a0关于x有有限个解时，a的取值是_______. A、全体实数；
B、一个唯一的实数； C、两个不同的实数； D、无法确定.
xyxyxy,
16.方程组有______解.
yx1,
A、一个； B、两个； C、三个； D、四个.
17.设a是一个实数，则方程组
(a1)x8y4a
解的情况为_____.
ax(a3)y3a1
A、无论a取何值，方程组均有解； B、无论a取何值，方程组均无解； C、若方程组有解，则仅有一组解； D、方程组有可能无解.
18.在如图所示的三棱柱中，点A，BB1的中点以及B1C1的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为____.
A、
14； B、； 37
C、
1113
； D、 1723
A1
N
B1
C1
M
A
C
B
852
19.设f(x)xxxx1.则f(x)有性质：_____.
A、对任意实数x，f(x)总是大于0； B、对任意实数x，f(x)总是小于0；
第 18 页 共 52 页
C、当x>0时，f(x)0；
D、以上均不对.
x2y2
1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的20.椭圆
123
_______.
A、3倍；
B、5倍；
C、7倍；
D、9倍.
21. 5个不同元素ai(i=1, 2, 3, 4, 5)排成一列，规定a1不许排第一，a2不许排第二，不同的排法共有________.
A、64种；
B、72种；
C、78种；
D、84种.
2
k1
22.设某个多边形的顶点在复平面中均为形式为1zzz性质：______.
A、一定是多边形上的点； C、不一定是多边形上的点；
的点，其中|z|1.则点z=0有
B、一定不是多边形上的点； D、恰恰为多边形的边界点.
23.一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1.将这批衬衣逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为_______.
A、0.271； B、0.243; C、0.1； D、0.081
x1
3
24.设x1，x2，x3是方程xx20的三个根，则行列式x2
x2x3x1
x3
x1=_____. x2
x3
A、—4；
B、—1；
C、0；
D、2
axax(ax1)x
25.设a0,a1，则函数f(x)和g(x)为_____.
2ax1
A、f(x)和g(x)均为奇函数；
B、f(x)和g(x)均为偶函数； D、f(x)是奇函数但g(x)是偶函数
C、f(x)是偶函数但g(x)是奇函数； 26.设A=
99
1
21100
A是一个二阶方阵，则100个A的乘积=___ ___. 2
B、2
100
A、2A； A； C、3A；
99
D、3
100
A
27.三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有_____个.
A、20； B、26； C、30； D、36
28.如图所示；正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是______.
A、
1； 2
B、
3； 4
C、
2； 3
D、
2 5
第 19 页 共 52 页
29.设A{a1,a2,a3}是由三个不同元素所组成的集合，且T是A的子集族满足性质：空集和A属于T，并且T中任何两个元的交集和并集还属于T.问所有可能的T的个数为____.
A、29； B、33； C、43； D、59
x2y2
1的左、右焦点，且点P是椭圆上的一点.若F1,F2,P是一个直角三30.设F1,F2分别为椭圆
169
角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_______.
A、3；
B、
9； 4
C、
9； 5
D、
3 2
31.若空间三条直线两两成异面直线，则与a,b,c都相交的直线有_____. A、0条；
B、1条；
C、多于1的有限条；
D、无穷多条.
32.已知一个三角形的面积为令u
1
，且它的外接圆半径为1.设a,b,c分别为这个三角形的三条边的边长，4
111
且vabc，则u和v的关系为_____. abc
B、uv；
C、uv；
D、无法确定
A、uv；
2008年交大冬令营数学试题2008.1.1
一．填空题
32x11
1．若f(x)x，g(x)f(x)，则g()_______．
521
2．函数y
x1
的最大值为__________． 2
x8
3．等差数列中，5a83a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．
22
4．复数|z|1,若存在负数a使得z2azaa0，则a________．
5．若cosxsinx
133
，则cosxsinx________． 2
6．数列an的通项公式为an
2
1
，则这个数列的前99项之和S99_______．
nn1(n1)n
98
99
3
7．(1x)(1x)……(1x)(1x)中x的系数为________．
第 20 页 共 52 页
8．数列an中，a00，a1
1357，a26，a3，a420，a5，a642，a7，2468
a872，此数列的通项公式为an_______．
9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品
的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．
10．若曲线C1:x2y20 与 C2:(xa)2y21的图像有3个交点，则a_______． 二．解答题
1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b．
(1)a是否有可能比b高？ (2)a和b是否可能相等？
2．已知函数f(x)ax2bxc(a0)，且f(x)x没有实数根．那么f(f(x))x是否有实数根？并证明你的结论．
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．
(1)由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线． 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
(2)若不考虑1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？
4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai0或1，i、nN．设
u(a1,a2,a3……an)，v(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．
(1)u(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)1； (2)u(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)3；
(3)令w(0,0,0……0)，u(a1,a2,a3……an)，v(b1,b2,b3……bn)，
n个0
求证：d(u,w)d(v,w)d(u,v)．
222
5．曲线y2pxp0与圆(x2)y3交于A、B两点，线段AB的中点在yx上，求p．
2008年交大冬令营数学试题2008.1.1 一．填空题
32x11
1．若f(x)x，g(x)f(x)，则g()_______．
521
2．函数y
x1
的最大值为__________． 2
x8
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3．等差数列中，5a83a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．
22
4．复数|z|1,若存在负数a使得z2azaa0，则a________．
5．若cosxsinx
1
，则cos3xsin3x________． 2
6．数列an的通项公式为an
1
，则这个数列的前99项之和S99_______．
nn1(n1)n
3
7．(1x)(1x)2……(1x)98(1x)99中x的系数为________． 8．数列an中，a00，a1
1357，a26，a3，a420，a5，a642，a7，2468
a872，此数列的通项公式为an_______．
9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品
的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．
10．若曲线C1:x2y20 与 C2:(xa)2y21的图像有3个交点，则a ． 二．解答题
1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b．
(1)a是否有可能比b高？ (2)a和b是否可能相等？
2．已知函数f(x)ax2bxc(a0)，且f(x)x没有实数根．那么f(f(x))x是否有实数根？并证明你的结论．
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．
(1)由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线． 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
(2)若不考虑1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？
4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai0或1，i、nN．设
u(a1,a2,a3……an)，v(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．
(1)u(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)1； (2)u(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)3；
(3)令w(0,0,0……0)，u(a1,a2,a3……an)，v(b1,b2,b3……bn)，
n个0
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求证：d(u,w)d(v,w)d(u,v)．
5．曲线y22pxp0与圆(x2)2y23交于A、B两点，线段AB的中点在yx上，求p． 2008北京大学自主招生数学试题
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
51
2
2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证:△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半
B1
C
A
P
C1
B
A1
3 已知a1a2a3b1b2b3,a1a2a2a3a3a1bb12b2b3b3b1,
min(a1,a2,a3)min(b1,b2,b3),求证：max(a1,a2,a3)max(b1,b2,b3).
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队(胜得1分 败得0分)
5 (本题20分)已知正四棱锥内接于半径为R的球,且外切于半径为r 的球,求证:
R
21. r
((理科)O−XYZ坐标系内 xoy平面系内0y2x绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C上未被照到的长度)
2
第 23 页 共 52 页
r≥2的时候上半圆没有曲线在抛物线内，所以光只能照到下半圆，那么r=2的圆是满足条件的，没被照到的也是2π
r≤根号7/2的时候上半圆完全在抛物线之内，那么整个圆都能被照到，r=1的圆也是满足条件的，没被照到的长度是0
现在纠结的是根号7/2的时候存不存在这样的圆满足照到的部分为2π，目前还在计算中。。
2008年清华大学自主招生数学试题
1、已知a、b、c都是有理数，a+b+c也是有理数， 证明：a、b、c都是有理数
2、(1)任意给定一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以构成一个三角形. (2)四面体一个顶点的三个角分别是900, 600, arctan2, 求由600的面和arctan2的面所成的二面角.
3、求正整数区间[m,n] (n>m)中，不能被3整除的数之和. 4、已知sin
x
cos1sin2
，求θ的取值范围
5、已知limf(x)f(0)1，
f(2x)f(x)x2，求f(x)
6、证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点.
2009年名牌大学自主招生考试试题(1)
2009年浙江大学自主招生考试
数学试卷
1
1、 （本小题满分20分）已知a≥，设二次函数fxa2x2axc，其中a,c均为实数．证明：
23
对于任意x0,1，均有fx≤1成立的充要条件是c≤．
41
2、 （本小题满分20分）数列an满足条件：a11，an1（n≥2）．试证明：
an1
第 24 页 共 52 页
（I）1≤an≤2，nN；
aa11
（II）≤n1n≤，n≥2且nN．
3anan12
3、 （本小题满分20分）现有如下两个命题：
命题p：函数fxx3ax2axa既有最大值，又有最小值． 命题q：直线3x4y20与曲线x22axy2a210有公共点． 若命题“p或q”为真，且命题“p且q”为假，试求a的取值范围．
4、 （本小题满分20分） 现有由数字1,2,3,4,5排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规
定：前i个数不允许是1,2,
,i的一个排列1≤i≤4 （如32154就不可以，因为前三个数是
1,2,3的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个?
x2y2
5、 （本小题满分20分）双曲线221（a0，b0）的离心率为2，Ax1,y1，
ab
Bx2,y2两点在双曲线上，且x1x2．
（I）若线段AB的垂直平分线经过点Q4,0，且线段AB的中点坐标为x0,y0，试求x0的值． （II）双曲线上是否存在这样的点A与B，满足OAOB?
适用高校:复旦大学
1.若x>y>1,0则下列各式中一定成立的是________.
A.
> B.
< C.
>
D.
<
2.设a>0,a1,函数f(x)=
1x
在(1,+)上单调递减，则f(x)_________. 1x
A. 在(−，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递增 B. 在(−，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减 C. 在(−，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递增 D. 在(−，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递减 3.若要求关于x的函数lg
的定义域是(
)，则a，b的取值范围是________.
A. B.a<0 C.−4a<0 D.a=b=0 4.设是有理数集，集合X={X|X=2+(1){2x|x
};(2){x/
};(3){1/x| x
，a，b } ;(4){x2|x
}，在下列集合中
}中和X相同的集合有________个.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
第 25 页 共 52 页
5.设x,y,z>0满足xyz+y+z=12，则A.3 B.4 C.5 D.6 6.定义全集X的子集A
++的最大值是________.
1,xA,
的特征函数为fA(X)=,这里，ðXA表示在A在X中的补集，那
0,xðA,X
么，对A,B
A. AC.
(x)=
，下列命题中不准确的是_________
B.
,
D.
(x)=1−(x)=
,+
,
xyf(x)f(y),则称这个函数是下凹函
7.如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y都满足f
22
数，下列函数
x,x0, (1)f(x)=2x (2)f(x)=x3 (3)f(x)=(x>0) (4)f(x)=
2x,x0,
中是下凹函数的有_______.
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
8.若实数x满足对任意正数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是________. A.(−1,1) B.[−1,1] C.(−
x2
) D.不能确定
9.设函数y=10的图像是曲线C，曲线C1和C2关于直线x=1对称，曲线C2和C1关于直线y=x对称，则C2是下列哪个函数的图像？
A.y=1−2lg x B.y=2−2lg x C.y=2lg x+1 D.y=2lg x+2 10.下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________.
A. B. C. D.
11.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠)，有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？______.
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
12.一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1(k>1)，则这个菱形的一个小于A.arctan(kk21) B.arctank21 C.arctan(
的内角等于__________. 2
1k1
2
1kk1
2
) D.arctan
13.设a,b是实常数，则二元一次方程组
axby1,
无解的充分必要条件是______.
x2yab,
第 26 页 共 52 页
A.2a+b=0且a B.2a+b=0且a+b−1 C.a=1,b=−2或a=−1，b=2 D.2a+b=0
+2cos
2
14.已知关于x的方程________.
x
=a在区间(0,2π)内有两个不同的根，则常数a的取值范围是2
2,3]
mn等于m+n除以10的余
A.(−1,3) B.(−1,2)(2,3) C.[−1,3] D.[−1,2)
15.设X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，定义X上的运算符如下：对任意m,n
数，给定初值n0X,记n1=n0n0,nk=nk−1n0,k=1,2,3……,则使得数列{nk}取遍X中所有元素的初值n0的集合是_______.
A. B.X C.{1,3,9} D.{1,3,7,9} 16.“要使函数f(x)A.如果f(x)
成立，只要x不在区间[a,b]内就可以了”的意思是_________.
D.前面三个解
,则x[a,b] B.如果x[a,b],则f(x)<0 C.如果x[a,b],则f(x)
释都不准确
17.实轴R中的集合X如果满足：任意非空开区间都含有X中的点，则称X在R中稠密，那么，“R中集合X在R中不稠密”的充分必要条件是_________.
A.任意非空开区间都不含有X中的点 B.存在非空开区间不含有X中的点 C.任意非空开区间都含有X的补集中的点 D.存在非空开区间含有X的补集的点
18.某种细胞如果不能分裂而死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是________.
A.
39253129 B. C. D.
64646464
19.设有n+1个不同颜色的球，放入n个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有
_______.
A.(N+1)!种 B.n(n+1)!种 C.
11
(n+1)!种 D. n(n+1)!种 22
)
20.设X是含n(n>2)个元素的集合，A,B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m,k(m,k个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是_________.
A.D.
B.
C.
21.三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB上取一点P，设三角形PA’C’与底的二面角为,三角形PB’C’与底的二面角为，则tan(
)的最小值为_______.
A.
33638353
B. C. D. 415138
22.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是________.
第 27 页 共 52 页
A.
323
R. B.
636
R C.
15
R D.R
1325
23.平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值
情况是_________.
A.只有唯一值 B.可取两个不同值 C.可取三个不同值 D.可取无穷多个值
24.设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是(0,0)，B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是_______.
A.
76
a
157
b,b66
15
a B. 67157
ab,b88815
a 8
715715
b,baC. a6 D. 666
25.设实数a,b,c0,
715715
8a8b,8b8a
bccaab
,,成等差数列，则下列不等式一定成立的是______. abc
|a||c|
A.|b||ac| B.b2|ac| C.a2 D.|b|
2
26.已知x2−(tanA.
)x+1=0(0<<π)，且满足x+x3+…+x2n+1+…=
3
,则的值是______. 2
5
6,6
B
225
,,, C. , D. ,
33336663
，0
，所表示的曲线大致是______
27.设a>0，极坐标方程
A. B. C.
D.
28.设数列{an},{bn}满足bn= an−an−1,n=1,2,3…,如果a0=0，a1=1，且{bn}是公比为2的等比数列，又设Sn=a1+a2+…+an,则lim
Sn
=__________.
nan
A.0 B.
1
C.1 D.2 2
第 28 页 共 52 页
29.复平面上点zo=1+2i关于直线l：|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是_______. A.−i B.1−i C.1+i D.i
30.设实数r>1，如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是________.
A.焦距为4的椭圆 B.焦距为
42
的椭圆 C.焦距为2的椭圆 D.焦距为的椭圆 rr
31.给定一组向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3),如果存在不全为0的实数k1,k2,k3,使得
k1a+k2b+k3c=0(0表示0向量)，则称向量组a，b，c是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a,b,c是线性相关的？___________.
A.a=(1,2,1),b=(−1,3,2),c=(3,1,0) B. a=(1,2,1), b =(−1,3,2), c =(0,1,−1) C. a =(1,2,0), b =(−1,3,2), c =(0,1,−1) D. a =(1,2,1), b =(−1,0,2), c =(0,1,−1)
32.设向量x=(coscos
),y=
11
coscos,cossin,3sin,其中0,
233
如果|x|=|y|，则向量x和y的最大值是_________.
A.
2
B. C. D.
3236
2009年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校：上海交通大学
一、填空题吸每题5分．共50分)
1．第一位将欧儿里得的《几何原本》译成中文的中文的中国明代学者是 ；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是 .
2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审．四人口供如下：赵说“孙是窃贼”；钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定．说假话的是＿；作案者是 ·
3．在边长为80cm的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10rm的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是 .
4．如图．用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径D,若半径为r1钢珠上端与孔口平面距离为H1, 半径为r2钢珠上端与孔口平面距离为H2,则D= .
H1
H2
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5．如果抛物线y=axbxc过A(−3,2)、B(5,2)两点,那么65a35b1= . 6．从空间一点O发出4条射线OA、OB、OC、OD,其两两所成的角均相等,则这些角的大小是 . 7．已知arctanx=arccosx,则x=
8.设an是公差d≠0的等差数列,从中选出部分项以原次序可以组成等比数列ak1,ak2,
2
,akm,若
k11,k25,k317,则k1k2
9．设x＋
km= .
11n
=2cosA，则xn= . xx
1x2
10．函数y=的值域是 .
2x
二、解答题(本大题共50分)
1．(本题10分)众所周知,指数函数a恒大于0,且有如下性质：若实数x1x2，则a1a2；对任意
x
x
x
二实数x1,x2，有ax1x2ax1ax2，如果一个函数f(x)满足类似两个性质，即：若实数x1x2，则f(x1)f(x2)；对任意二实数x1,x2，有f(x1x2)fx(1)fx()2说明你的理由．
，能否判断f(x)也恒大于0？
16
2.(本题10分)已知|m|22,n>0,求y8m2(mn)2的最小值.
n
3.(本题10分)求有限集A=a1,a2,
2
,an,其中a1,a2,
,an为互不相等的正整数,使得
a1a2an=a1a2an.
k
k
k
n2n
， 4.(本题10分)设n与k均为正整数,令fk(n)=l+2+…+n，已知f1(n)=l+2+…+n=
22n3n2nn4n3n2333
f2(n)= l+2+…+n =，f3(n)= l+2+…+n =，试观察上述各式右端的多
326424
2
2
2
项式的系数,说出其特点，进而求出f4(n).
5.(本题10分)下图是一个由9个小的九官格组成的9xg的方格．请运用已经显示的数字,确定每个空格
中的数字,使之符合以下两个条件:
(1)每一行和每一列中的9个数字必须是不一复的1到9; (2)每一个小九宫格中的9个数字必须是复的1到9;你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的． 本题你只要填满任何4个小九宫格就算完成.
第 30 页 共 52 页
2009年北京大学自主招生、保送生笔试考试试题(数学)
1 .(本题20分)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求四边形ABCD圆的半径.
2 .(本题20分)已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是：13，25，41.证明：这个数列中有一项等于2009.
3 .(本题20分)是否存在实数x,使tanx+3与cotx+ 3为有理数？
4 .(本题20分)已知对任意x均有a cosx + b cos2x≥− 1，求a+b的最大值.
5.(本题20分) 在一次考试中333名学生共答对了1000道题.至多答对3题者为不及格,至少答对6题者为优秀.已知不是所有同学答对的个数的奇偶性都相同.成绩不及格者和和成绩优秀者人数哪个多? 2009年清华大学自主招生数学试题(理科)
1． 设
51
的整数部分为a，小数部分为b 51
ab2
；3求limbb
n2
1求a,b；2求a2b2
bn
122n1
2n2n
2．1x,y为实数，且xy1，求证：对于任意正整数n，xy
2a,b,c为正实数，求证：
abc
3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 xyz
3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
x2y2
4．已知椭圆221，过椭圆左顶点Aa,0的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点
ab
与L平行的直线与椭圆交于P
求证：AQ，2OP，AR成等比数列
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5．已知sintcost1，设scostisint，求f(s)1ss2
6．随机挑选一个三位数I
sn
1求I含有因子5的概率；2求I中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC
1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
2设三个面与底面BCD所成的角分别为,,，求证：coscoscos1
8．证明当p,q均为奇数时，曲线yx22px2q与x轴的交点横坐标为无理数 9．设a1,a2,
,a2n1均为整数，性质P为： 对a1,a2,,a2n1中任意2n个数，存在一种分法可
将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等 求证：a1,a2,
,a2n1全部相等当且仅当a1,a2,,a2n1具有性质P
2010年名牌大学自主招生考试试题(1) 适用高校:复旦大学
1、设函数y=f(x)=ex+1，则反函数x= f −1(y)在xOy坐标系中的大致图像是_________.
y
y
y
y
O
O
x
x
Ox
Ox
A B C D
2、设f(x)是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f(x)≤f(y)， 则称f(x)是[a,b]上的递增函数，那么，f(x)是[a,b]上的非递增函数应满足_________ A．存在满足x<y的x,y∈[a,b]，使得f(x)>f(y)； B．不存在x,y∈[a,b]满足x<y且f(x)≤f(y);
C．对任意满足x<y的x,y∈[a,b]都有f(x)>f(y); D．存在满足x<y的x,y∈[a,b]，使得f(x) ≤f(y) 3、设,[A. [−2,2];
,]，且满足sincossincos1，则sinsin的取值范围是_______. 22
B. [−1,2]; C.[0,2];
D.[1,2].
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4、设实数x,y0，且满足2xy5，则函数f(x,y)xxy2x2y的最大值是_______. A. 97/8 B. 195/16 C. 49/4 D. 25/2 5、设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形分别为：
2
则该多面体的体积为______________ A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 5/6
6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________.
A. 32个； B. 30个； C.28个； D.26个
7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(A．顺时针旋转60°所得； C．逆时针旋转60°所得；
1313
，)是将向量(1,1)经过________. 22
B．顺时针旋转120°所得； D．逆时针旋转120°所得；
8、在直角坐标系Oxy中已知点A1(1,0)，A2(1/2,3/2)，A4(−1,0)，A5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量
(i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.
AiAj
A.9个； B.15个； C.18个； D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f1(x)=f(x)，……，fn(x) =f(fn−1(x))，n=1,2,3,…….满足fn(x)=x的点x∈[0,1]
1
2x,0x,2称为f的一个n−周期点.现设f(x)问f的n−周期点的个数是___________.
122x,x1
2
A.2n个；
B.2n2个；
C.2n个；
D.2(2n−1)个.
10、已知复数z1=1+3i，z2=−3+3i，则复数z1z2的幅角__________. A.13π/12;
B.11π/12;
C.−π/4;
D.−7π/12.
11、设复数zcosisin,wsinicos满足zw=3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;
B.
3/2，−1/2;
C. ±1/2;
D.1/2,−3/2.
12、已知常数k1,k2满足012，k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线
且通过原点的双曲线.则C1和C2的离心率之比e1/e·等于_______.
A.
1k11k2
22
; B.
1k21k1
22
C.1 D.k1/k2
13、参数方程
xa(tsint)
,a0所表示的函数y=f(x)是____________.
ya(1cost)
B．图像关于直线x=π对称；
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A．图像关于原点对称；
C．周期为2aπ的周期函数 D．周期为2π的周期函数.
14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D称为可行域，将函数(y+1)/x称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k的取值为_____.
A.k≥1; B.k≤2 C.k=2; D.k=1.
15、某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.
A. y是x的函数； B. z是y的函数； C. w是z的函数； D. w是x的函数.
16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确 17、设集合A={(x,y)|logax+logay>0}，B={(x,y)|y+x．如果A∩B=，则a的取值范围是_______ A．; B．a>0,a≠1; C．0 D．1
18、设计和X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a>0，都存在x∈X使得0<|x−x0|，则称x0为集合X的聚点.用Z表示整数集，则在下列集合
(1){n/(n+1)|n∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.
A．(2), (3)； B．(1), (4)； C．(1), (3)； D．(1), (2), (4)
19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线ykx将三角形△ABC分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？
A．
3342
B． C． D． 2433
1
7
1
20、已知f(x)sinxcosx3cos2x，定义域D(f),，则f
1212A．
(x)_____
131131x B．arccosx arccos2212226
131131 C．arcsinx D．arcsinx2212226
21、设l1，l2是两条异面直线，则直线l和l1，l2都垂直的必要不充分条件是______ A．l是过点P1l1和点P2l2的直线，这里P1P2等于直线l1和l2间的距离 B．l上的每一点到l1和l2的距离都相等 C．垂直于l的平面平行于l1和l2 D．存在与l1和l2都相交的直线与l平行
22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P是侧面ABB’A’的中心，则P到侧面ACC’A’
的对角线的距离是_____
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A．
131432 B． C． D． 2488
23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和
缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
24、设非零向量aa1,a2,a3,bb1,b2,b3,cc1,c2,c3为共面向量，x(x1,xx,x3)是未知向
量，则满足ax0,bx0,cx0的向量x的个数为_____
A．1个 B．无穷多个 C．0个 D．不能确定 25、在Oxy坐标平面上给定点A(1,2),B(2,3),C(2,1)，矩阵
2k
将向量OA,OB,OC分别变换成11
向量OA',OB',OC'，如果它们的终点A',B',C'连线构成直角三角形，斜边为B'C'，则k的取值为______
A．2 B．2 C．0 D．0，−2
26、设集合A,B,C,D是全集X的子集，A∩B≠，A∩C≠.则下列选项中正确的是______. A.如果DB或DC，则D∩A≠；
B.如果DA，则CxD∩B≠，CxD∩C≠； C.如果DA，则CxD∩B=，CxD∩C=； D.上述各项都不正确.
n
an
27、已知数列an满足a12且是公比为2的等比数列，则ak______
nk1
A．n2
n1
2 B．(n1)2n12 C．n2n2(n1) D．(n1)2n2n
28、复平面上圆周
z1z1i
2
的圆心是_______ 2
A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i
29.已知C是以O为圆心、r为半径的圆周，两点P、P*在以O为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP*|=r2，则称P、P*关于圆周C对称．那么，双曲线x2y2=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x2＋y2=1的对称点P*所满足的方程是
(A)xyxy (B)xyxy(D)xy2xy
2
2
224422
2
22
(C)x
2
y22x4y4
2
22
x'xcosysin
30、经过坐标变换将二次曲线3x223xy5y260转化为形如
y'xsinycos
x'2y'2
1的标准方程，求的取值并判断二次曲线的类型_______ a2b2
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k
(kZ)，为椭圆
626k
(kZ)，为双曲线 C．k(kZ)，为双曲线 D．
626
A．k
(kZ)，为椭圆 B．
31、设k, m, n是整数，不定方程mx+ny=k有整数解的必要条件是____________ A. m,n都整除k; B. m,n的最大公因子整除k; C. m,n,k两两互素; D. m,n,k除1外没有其它共因子
2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题
ai2
)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为( ) 1i
3113(A) (B) (C) (D)
2222
1．设复数w(
2．设向量a,b，满足|a||b|1,abm，则|atb|(tR)的最小值为( ) (A)2 (B)1m (C)1 (D)1m 3. 无试题 4. 无试题
5．在ABC中，三边长a,b,c，满足ac3b，则tan(A)
2
2
AC
tan的值为( ) 22
1112
(B) (C) (D) 5423
6．如图，ABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则OFG与GAH面积之比为( )
(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2
A
E
HGB
D
OF
ax
C
7．设f(x)e(a0)．过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:yf(x)的交点为Q，曲线C
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过点Q的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最小值是( )
e2e2e
(A)1 (B) (C) (D)
242
x2y2x2y2k(a2,k0)，椭圆C2:21．若C2的短轴长与C1的实轴长的8．设双曲线C1:2
a4a4
比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为( )
(A)22k (B)2 (C)44k (D)4
9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
10．设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线OA为轴满足条件(B)C的旋转，用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用表示空间以l为轴的180°旋转．设
(A)(C)
表示变换的复合，先作，再作.则可以表示为( )
(B) (D)
AB
cos2C1，外接圆半径R2． 2
二、解答题
11．在ABC中，已知2sin(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)求ABC面积的最大值．
12．设A、B、C、D为抛物线x24y上不同的四点，A,D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1,d2，已知d1d2
2
2AD．
(Ⅰ)判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； (Ⅱ)若ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程．
y
Cl
A
O
B
D
x
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13．(Ⅰ)正四棱锥的体积V
2
，求正四棱锥的表面积的最小值； 3
(Ⅱ)一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．
14．假定亲本总体中三种基因型式：AA,Aa,aa的比例为u:2v:w(u0,v0,w0,u2vw1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．
(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；
(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．
xm12t12s1
)，且存在函数statb(t,a0)，满足f(．
x12ts
2s12t1
)(Ⅰ)证明：存在函数t(s)csd(s0),满足f(； st1
(Ⅱ)设x13,xn1f(xn),n1,2,.证明：xn2n1．
3
15．设函数f(x)
2010年名牌大学自主招生考试试题(3)
适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)
一、选择题(每题5分，共25分)
1.函数y=cosxsinxcosx的最大值为
3
2
2832440 (B) (C) (D) 2727327
azb
2．已知a、b、c、d是实数,, 且当Imz>0时，In＞0．则
czd
(A)
(A)ad+bc>0; (B)ad+bc＜0; (C)ad−bc＞0; (D)ad−bc<0. 3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( ) (A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种
4．己知F为抛物线y2＝2px的焦点，过点F的直线l与该抛物线交于A、B两点,l1、l2分别是该抛物 线在A、B两点处的切线，l1、l2相交于点C，设|AF|=a，|BF|=b，则|CF|=
(A)ab; (B)ab; (C)
3
ab
; (D)a2b2. 2
5．设是三次多项式f(x)＝x−3x＋10的一个根，且=项式，满足条件h．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)
22
2
,若h(x)是一个有理系数的二次多
11; (D) 22
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二、解答题(本大题共55分)
1.(本题15分)己知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数
xsin2xmcosx2m,集合
M=m|对任意的x0,,x0,N=m|对任意的x0,,f[x]0,求M
22
N.
2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可
能地传给另外3人中的任何1人．
(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？
(2)经过n次传球后，球在甲手中的概率记为pn(n=1,2,…) ,试求Pn1与Pn的关系式,并求Pn的表达式及
limPn
n
3.(本题20分)设p、q是一元二次方程x2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p＞0，令
2y1=p−q,yn+1=yn−2,n=1,2，…，证明：lim
111
...=p. nyy1y2...yn1y1y2
2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题
(数学部分)
1．(仅文科做)0
，求证：sintan．(25分) 2
51
．(25分) 2
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为
3．AB为y1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．(25分)
4．向量OA与OB已知夹角，OA1，OB2，OP(1t)OA，OQtOB，0≤t≤1．PQ在t0时
1
取得最小值，问当0t0时，夹角的取值范围．(25分)
5
5．(仅理科做)存不存在0x
，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．(25分) 2
2011年综合性大学(北约13校)自主选拔录取联合考试数学试题
请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题.每题20分，共100分.
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长.
2.求过抛物线y2x22x1和y5x22x3的交点的直线方程.
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3.在等差数列{an}中，a313,a73，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？
4.在ABC中，ab2c，求证：C600.
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
6.C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.
7.求f(x)x12x1........2011x1的最小值. 2011年清华等五校联考(华约)自主招生数学试卷
1.设nN，n15. 集合A、B都是I1,2,,n的真子集，A
*
B，ABI.证明：集
合A或B中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数.
2
2.设fxaxbxc(a0)，方程fxx的两个根是x1和x2，且x10，x2x1
1
，又a
0tx1.试比较ft与x1的大小.
3.求函数fxmaxx1,x5的最小值，并求出相应的x的值.
2
4.已知fx是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,bR，有fabafbbfa. (1)求f0，f1的值；
(2)判定函数fx的奇偶性，并证明你的结论； (3)若f22，un
f2nn
2
nN，求数列u的前n项和S
*
nn
.
5.已知关于x的方程ax1a1x
2
2
，a1. 证明方程的正根比1小，负根比1大.
2
6.设a，b是两个正数，且ab. 当xa,b时，yx4x6的最小值为a，最大值为b，求a，
b值.
7.某生产队想筑一面积为144m的长方形围栏，围栏一边靠墙. 现有铁丝网50m，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
8.在正方形ABCD中，过一个顶点D作对角线CA的平行线DE，若CECA，且CE交边DA于点F. 求证：AEAF.
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2
E
D
F
A
B
C
9. 设ABC的重心为G，外心为O，外接圆半径为r，OGd，BCa，CAb，ABc. 求证：abc9rd
10.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3:1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程. 11.以A为圆心，以2cos(0
2
2
2
2
2
2
)为半径的圆外有一点B. 已知AB2sin，设过B且与圆A外切
于点C的圆的圆心为M.
(1)当取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线？
(2)点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，记MN的最小值为f
12.设数列an的前n项和为Sn，点(n,(1)求数列an的通项公式； (2)设bn
.求f的取值范围.
Sn
)(nN*)均在函数y3x2的图像上. n
m3*
，Tn数列bn的前n项和，求最小正整数m，使得Tn对所有nN都成立.
20anan1
12nanan1
13.已知函数fx2x4，Snf()f()f()， n1,2,. 若不等式恒
nnnSnSn1
成立，求实数a的取值范围
2011年名牌大学自主招生考试试题(3)
适用高校：北京理工大学、同济大学等九校
一、选择题(每题3分，共30分)
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1．设向量a、b均为“：零向量,( a−2b)a,( b−2a)b,则 a、b)的夹角为 (A)
25 (B) (C) (D)
3663
tan()
=
tan()
2．己知sin2()nsin2,则
(A)
n1nnn1
(B) (C) (D) n1n1n1n1
3．在正方体ABCD一A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点．F是棱A1B1上的点,若A1F:FB1=1:3,则异面直 线EF与BC1所成角的正弦值为 (A)
151555 (B) (C) (D) 3535
z22z24．已知i为虚数单位,设复数z满足|z|=1，则的最大值为
z1i
(A)2−1; (B)2−2； (C)2＋l; (D)2+2．
5．已知抛物线的顶点在原点．焦点在x轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若边BC所在直线的方程为4x＋y−20=0．则抛物线的方程为 (A)y2=16x；(B)y2=8x；(C)y2=−16x；(D)y2=−8x；
6．在正三棱柱ABC一A1B1C1中, 若底面边长与侧凌长均等于2,且E为CC1的中点．则点C1到平面AB1E的距离为
(A)3; (B)2； (C) 7．若关于x的方程
32; (D)． 22
|x|
kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为 x4
(A)(0,1); (B)
11
,1； (C),; (D) 1,． 44
O于点G,F,
8．如图,△ABC内接于O，过BC的中点D作平行于AC的直线l,l交AB于点E,交
交O在A外的切线于点P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为 (A)5; (B)6； (C)7; (D)22．
9．若数列an共有11项，a1=0,a11=4, 且ak1ak1,k1,2,为
(A)100; (B)120; (C)140; (D)160 10.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
k
,10,则满足条件的不同数列的个数
2
的旋转，表示坐标平面关于y轴的镜面反射,7
2
3
4
若用表示变换的复合，先做再做，用表示连续k次的变换，则是
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(A)； (B)； (C); (D).
二、解答题(本大题共70分)
11.(本题14分)设数列an满足a1=a,a2=b，2an2an1an, (1)设2bnan1an,证明：若a≠b，则{bn}是等比数列; (2)若lim (a1+a2＋…＋an)=4，求a、b的值．
n
4523
12.(本题14分)在ABC中，AB=2AC,AD是A的角平分线．且AD=kAC. (1)求k的取值范围.
(2)若SABC=1，当k为何值时，BC最短？
13.(本题14分)己知椭圆的两个焦点为F1(−1.0)、F2(1,0),且椭圆与直线y=x−3相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F1作两条互相垂直的直线l1、l2，与椭圆分别交于点P、Q及点M、N,求四边形PNQM面积的 最大值与最小值．
14.(本题14分)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中自球的个数为Xn．
(l)求EX1;
(2)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k),k=0,1,⋯,b; (3) 证明：Exn+1=1
1
EXn1. ab
15.(本题14分)(1)设f(x)=xlnx，求f'(x); (2)设0，求常数C, 使得
1b
|lnxC|dx取得最小值： aba
(3)记(2)中的最小值为ma,b，证明:ma,b＜ln2· 2012北大自主招生数学试题(理科)
1.求x的取值范围,使得f(x)x2xx1是增函数. 2.求x116x2x2710x21的实数根的个数.
1
3.已知(x2xm)(x2xn)0的4个根组成首项为的等差数列,求mn.
4
2
2
4.已知锐角ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比.
22
5.已知点A(2,0),B(0,2),若点C是圆x2xy0上的动点,求ABC面积的最小值.
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6.在1,2,
,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？
7.设点A、B、C分别在边长为1的正三角形的三边上,求AB2BC2CA2的最小值. 8.若关于x的方程sin4xsin2xsinxsin3xa在[0,)有唯一解的a,求实数a的范围. 9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
n
9.求证:对于任意的正整数n,(12)必可以表示成ss1的形式,其中sN.
2012年清华等五校自主招生试题−−通用基础测试 数 学
一、选择题
1.若P为ABC内部任一点(不包括边界),且(PBPA)(PBPA2PC)0,则ABC必为( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
2.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若MAMP,则P点形成的轨迹的长度为( )
A.7 B.
37
C.3 D.
22
3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,
,n1中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程
中,9,99,999都出现的概率是( )
A.
1111
B. C. D.
105104106107
4.已知,R,直线
xyxy
1的交点在直线1与
cossincoscossinsinsincos
yx上,则sincossincos( )
A.0 B.1 C.1 D.2
5.若正整数集合Ak的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列,则并集A17
A59中的元素个数为
A.119 B.120 C.151 D.154 6.三角式
11
cos0cos1cos1cos2
1
化简为
cos88cos89
A.cot1csc1 B.tan1csc1 C.cot1sec1 D.tan1sec1
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x2y2x2y2
7．设k<3,k≠0，则二次曲线1与1必有
3kk52
(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．
x2y2
8.若P为椭圆1l在第一象限上的动点，过点P引圆x2＋y2=9的两条切线PA、PB，切点分
169
别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则SMON的最小值为( ) (A)
992727
3；(C)3 ; (B); (D)
2244
2
x129. 设x1、x2是实系数一元二次方程ax＋bx＋c=0的根，若x1是虚数，是实数,则
x2
xxxx
S11111
x2x2x2x2
2
4
8
x1x2
2007
的值为
A.0 B.−1003 C.1004 D.−1004 10.函数f:RR，对任意的实数x、y，只要x+y≠0，就有f(xy)=
f(x)f(y)
成立,则函数f(x)(x∈R)
xy
的奇偶性为
(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数．
二、解答题
11. 系统内有2k−1(k∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率p并讨论pk的单调性．
x2
12.已知fn(x)1x2!
xn
(nN*),求证:当n为偶数时,方程fn(x)0无解;当n为奇数时,n!
方程fn(x)0有唯一解xn,且xn2xn.
13．已知锐角三角形ABC中，BE AC于点E,CD AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度．
14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值·
15．已知动点P在y轴上投影为H,A(−2,0),B(2,O)，满足APBP2|PH|2.
(1)求点P的轨迹方程C;
(2)已知一条直线过点B，且与曲线C交于x轴下方两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，−2)连线的斜率取值范围．
2012年名牌大学自主招生考试试题(3)
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卓越人才培养合作高校 2012年自主选拔学业能力测试数学
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 ____ 。 （2）函数f()
sin
(R)的值域为 。
2cos
（3）设0a1，0
π
，x(sin)logasin，y(cos)logatan，则x，y的大小关系为 __________。 4
（4）已知ABC中，A90o，BC4，点A是线段EF的中点，EF2，若EF与BC的夹角为60o，则BECF= 。
（5）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，记{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn。若a3b3，a4b4，且
S5S3aa3
5，则5 。
T4T2b5b3
R，（6）设函数f(x)sinx，其中0，若在常数T(T0)，使对任意xR有fxTTfx，
则可取到的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （7）（本小题满分10分）
试a，b是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数
（Ⅰ）求直线yaxb与圆x2y22有公共点的概率
（Ⅱ）设X为直线yaxb与圆x2y22的公共点的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)。（8）（本小题满分10分）
CD8，3ED4OM，如图，AB是O的直径，弦CD垂直AB于点M，E是CD延长线上一点，AB10，
EFO的切线，F是切点，BF与CD相交于点G， （Ⅰ）求线段EG的长；
（Ⅱ）连线DF，判断DF是否平行于AB，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）
A
F
O
E
C
MGB
D
（9）（本小题满分10分）
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，ABBC，侧面PAB底面ABCD，PAADAB1，BC2。
（Ⅰ）证明平面PBC平面PDC；
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（Ⅱ）若PAB120o，求二面角BPDC的正切值。（注：根据解题需要，须将图形自行画在答题卡上）
P
A
D
B
C
（10）（本小题满分10分）
设抛物线y22px(p0)的焦点是F，A，B是抛物线上互异的两点，直线AB与x轴不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点D(a,0)，记m|AF||BF|。 （Ⅰ）证明a是p与m的等差中项
（Ⅱ）设m3p，直线l平行y轴，且l被以AD为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线l方程。 （11）（本小题满分15分）
ax21已知函数fx，其中a是非零实数，b0。
bx
（Ⅰ）求fx的单调区间 （Ⅱ）若a0，设|xi|fx1fx2fx3
1a
，i1，2，3，且x1x20，x2x30，x3x10。证明：
2a
； b
（Ⅲ）若fx有极小值fmin，且fminf(1)2，证明|fx|n|fxn|2n2nN*。
（12）（本小题满分15分）
设数列{an}的前n项和为Sn，a10，vSn1uSna1v，其中u，v是正整数，且uv，nN*。 （Ⅰ）证明{an}为等比数列；
（Ⅱ）设a1，ap两项均为正整数，其中p3。 （ⅰ）若pa1，证明v整除u；
（ⅱ）若存在正整数m，使得a1mp1，apm1
p1
，证明Spm1mp。
p
2013年“北约”自主招生试题
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一、以2和1−32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
二、在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？
三、已知x2=2y+5,y2=2x+5，求x3−2x2y2+y2的值。 四、如图，△ABC中，AD为BC边上中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由。
五、数列｛an｝满足a1=1，前n项和为Sn,Sn+1=4an＋2，求a2013. 六、模长为1的复数、B、C，满足A+B+C≠0，求
ABBCCA
的模长。
ABC
七、最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。
2013“华约”自主招生试题
2013-03-16
（时间90分钟，满分100分）
1.（10分）集合A{x|x10,xN}，B为A的子集，若集合B中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9
（1）B中两位数有多少？三位数有多少？ （2）B中是否有五位数？六位数？
（3）若将集合B的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？ 2.（15分）sinxsiny
11
，cosxcosy，求sin(xy)与cos(xy)的值 35
3.直线ykx与ykx上两点A(xA,yA)、B(xB,yB)，|OA||OB|1k2 （1）求AB中点M的轨迹C；
（2）若曲线C与x22py相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程。
4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球 （1）求取出的球中恰有1个是红球的概率
（2）求所取出球中黑球个数X的分布列及期望E(X) （3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率
2
5. （15分）an1canan，a10，c0，求证
（1）对M0，总存在正整数N，使nN满足anM； （2）bn
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1
，Snb1b2can1
bn，对任意d0总存在k使得nk时，0|Sn
1
|d ca1
6. （15分）x,y,z是两两不相等且大于1的正整数，若xyz|(xy1)(xz1)(yz1)，求x,y,z的所有值。 7. （15分）已知f(x)(1x)ex1 求证：（1）对x0，f(x)0 （2）若xne
xn1
exn1，求证：{xn}单调递减且xn
1
2n
2014北约自主招生数学试题
1. 圆心角
为的扇形面积为6，求它围成圆锥的表面积. 3
2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法.
a2bf(a)2f(b)
),f(1)1,f(4)7,求f2014. 3. f(33
4.
f(x)lg(x22axa)的值域为R，求a的取值范围.
1
的取值范围. xy
5. 已知xy1，且x,y都为负实数，求xy
22x11
C在,上为奇函数，求C的值. 6. f(x)arctan
14x44
一、
求证：tan3Q
已知实系数二次函数fx与gx，fxgx和3fxgx0有两重根，fx有
二、
两相异实根，求证：gx没有实根.
三、
716
a13是等差数列，Maiajak1ijk13，问：0,,是否同在M中，
23
并证明你的结论.
a1,a2
四、
xi0i1,2,,n，且xi1，求证(2xi)(21)n.
i1
i1
nn
2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科
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选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式x2x10的解集为_____________．
2. 在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，AC2，二面角PBCA的大小为60，三棱
锥PABC的体积为
46
，则直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为________． 3
3
2
3. 当实数m变化时，不在任何直线2mx
面积为_____________．
1my4m40上的所有点x,y形成的图形的
2
2x11
,x,,x2
2
4. 已知函数fx．g
lnx1,x1,
2
xx24x4．设b为实数，若存在实数a，使
fagb0，则b的取值范围是___________．
填空题（每题6分，共24分）
5. 已知0a1，分别在区间0,a和0,4a内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为
3
．则16
a的值为_______________．
6. 设e1，e2为平面上夹角为（0
）的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，P为平面上任2
意一点，当OPxe1ye2时，定义x,y为点P的斜坐标．现有两个点A，B的斜坐标分别为x1,y1，
x2,y2．则A，B两点的距离为______________．
7. 若函数ysinx的图象的对称中心与y轴距离最小的对称轴为x，则实数的值为_____．
46
8. 已知集合A，B满足AB1,2,3,
,8，A
B．若A中元素的个数不是A中的元素，B中元素
的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为___________．
解答题（共56分）
9. （13分）设R，函数fx2sin2xcos2cos2xsin2cos2xcos，xR．（1）
若,，求fx在区间0,上的最大值．
424
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（2）若fx3，求与x的值．
x2y2
10. （13分）已知双曲线221（a0，b0）的两条渐进线的斜率之积为3，左右两支上分别由
ab
动点A和B．
（1）设直线AB的斜率为1，经过点D0,5a，且ADDB，求实数的值．
（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB，MB分别与x轴相交于点P，Q，O为坐标原点，证明OPOQa2．
11. （15分）已知fx为R上的可导函数，对任意的x0R，有0f'xx0f'x04x，x0．
（1）对任意的x0R，证明：f'x0
fxx0fx0
x
（x0）；
（2）若fx1，xR，证明f'x4，xR．
12.（15分）已知实数列an满足a11，an1qan，nN，常数q1．对任意的nN，有
a
k1
n1
k
4an．设C为所有满足上述条件的数列an的集合．
（1）求q的值；
（2）设an，bnC，mN，且存在n0m，使an0
bn0．证明：akbk
k1
k1
mm
；
m
AaaC（3）设集合mkn，mN，求
k1
Am中所有正数之和．
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2014年“华约”自主招生数学试题
1.已知x1，x2，x3，x4，x5均是正整数，且任取四个其和组成的集合为44,45,46,47，求这五个数．
2.乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率局为p（p
qp取到最大值．
3.函数fx
1）．甲比赛获胜的概率是q．则p为多少时，2
2cosxsinxsinx2asinxb（a0）的最大值是1，最小值是4． 24
求a，b的值．
4（1）证明yfgx的反函数是yg1f1x．（2）设Fxfx，Gxf1x．若Gx的反函数是Fx，证明fx是奇函数．
x2y2
5.已知椭圆221与圆x2y2b2．过椭圆上一点M作圆的两条切线．切点分别是P，Q．直线PQ与
ab
x轴，y轴分别交于点E，F．求△EOF面积的最小值．
6.数列an满足a10，an1npnqan．
（1）若q1，求an的通项公式．（2）若p1，q1，求证数列an有界．
x
7.已知n是正整数，xn．求证：nn1exx2．
n
n
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2022-05-24
