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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 学期：2020年春季 课程名称【编号】： 线性代数【0044】 A卷 考试类别:大作业 满分：100 分 一、 必答题（40分） 1、 什么是线性方程组？ 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。 xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。 称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是： ①一个方程组何时有解。 ②有解方程组解的个数。 ③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r时，有无穷多解；可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。
2、 阐述矩阵乘法的运算过程。并用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
3、 用初等变换的方法求解上述线性方程组
二、 从下列两题中任选一题作答（30分）
1、 (a)什么是方阵的逆矩阵？ 设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
(b)阐述求逆矩阵的初等行变换方法
求逆矩阵的初等行变换法.
设A可逆，则可逆. 根据定理2.12知，可表示为若干个初等方阵的乘积，即
x1x22x33
3x14x22x322x3xx1
231
且
，其中P1，P2，…，Pk是初等矩阵. 于是
，
.
- 1 -
根据分块矩阵的乘法，有
.
根据定理2.11知，左乘一个初等矩阵相当于对矩阵进行相应的初等行变换，因此得到求A的逆矩阵的初等行变换法如下：
首先，在A的右边接一个与其同阶的单位矩阵E构成一个矩阵(A, E)，这时A和E是其中的两个块.
其次，对矩阵(A, E)实施矩阵的初等行变换，将A所在的块化为单位矩阵E，则单位矩阵E所在的块就是
.
三、 从下列两题中任选一题作答（30分）
(c)求解如下矩阵方程：
10112111X0122121
(a)什么是向量组线性无关？
T
T
1
1、
(a)求解行列式1
1
006
2
1
3
2、
(b)判断向量组1=10、2=01是否线性无关。
100
(b)求解矩阵126的特征值，并求=1对应的特征向量
113
(a)阐述正交矩阵的定义。
如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A
称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 :
1)AT是正交矩阵 2)（E为单位矩阵）
3)AT的各行是单位向量且两两正交 4)AT的各列是单位向量且两两正交 5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R 6)|A|=1或-1
- 2 -
x1
（1,2）(c)分析式子在几何上表达的含义。
x2
2、
T
（x1,x2,x3） (d)求解如下方程，并阐释的意义
100x11001
110x=01022111x00133
7) (9)举例：
8)正交矩阵通常用字母Q表示。 若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有：
(b)已知二次型3x25y25z24xy4xz10yz1变换为标准型时的正交变换
4
321
矩阵为
321
32
132323
01
，求该二次型的标准型 212
- 3 -
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2022-06-30
