极限不存在的证明

2022-04-18 20:30:10 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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证明,极限,存在

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U0(x0;')且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

n

1

不存在

x0x11

证：设xn,xn(n1,2,)，则显然有

n2n2

例如：证明极限limsin

11

xn0,xn0(n)，sin00,sin11(n)

xnxn

由归结原则即得结论。

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。

1

例如：证明f(x)arctan()当x0时的极限不存在。

x

1111

因为limarctan()x=0，limarctan()，limarctan()limarctan()，

x0x0x0x0x2x2xx

1

所以当x0时，arctan()的极限不存在。

x

三、证明x时的极限不存在

原理：判断当x时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x时的极限不存在

因为limex0，limex；因此，limexlimex

x

x

x

x

所以当x时，ex的极限不存在。四、柯西准则

原理：设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给0，存

xx0

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x

11

即证。 ,x

nn2

1



，令

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在

00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x时没有极限。

例如：证明limcosx不存在

x

设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A0,取0

1

，于是对任何0，取00 2

反证法（利用极限定义）数学归纳法

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