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浅谈数论 摘要： 提起数论，相信大家并不陌生。它与几何学一样，是一门最为古老而又始终活跃的数学研究领域。长期以来，数论被人们认为是纯数学理论。正因如此，数论题目也是全国高中数学联赛乃至IMO重点考察选手思维的重要题目之一。但是，由于其理论深奥，所以一直被人认为仅仅局限于理论研究，没有实用价值。随着计算机的产生与发展给科学技术带来新变革的同时，数论也有了非常广泛的用途，成为一门最为有用的数学分支。 关键词： 初等数论，反证法，费马小定理，哥德巴赫猜想 正文： 数论是一门研究整数性质的学科。许多数论问题都是从实际经验总结而来的，所以数论问题叙述起来简单明了，易于让人理解，但是证明过程却是异常艰难。世界上公认的数学难题也大多是数论上的难题，比如说费马大定理，哥德巴赫猜想，孪生素数，华林问题等。在漫长的岁月中，数学家们通过对整数问题的不断探索和创新，熟悉并掌握了整数的许多性质，从而使得数论的理论体系逐步完善。伟大的德国数学家高斯在其著作《算术研究》中创立了数论最基本的研究方法同余理论，从而开创了现代数论的新纪元。根据研究法的不同，数论有以下最基本的四个分支：初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。下面主要介绍一下初等数论和解析数论。 初等数论是以算术方法为主要方法来研究数论的一个独立分支。它的主要内容为整数的整除理论、不定方程理论、同余理论等。正是基于同余理论的发展，中国剩余定理的孙子定理和秦九韶的大衍求一术驰誉世界。 在我们大学之前所接触的数论知识中，基本都是初等数论。我们90后这一代幸运地赶上了“奥数热”，这也是我学习数论知识的开始。小学时期多接触的是一些比较浅显的数论知识，比如“n+1件物品放进n个抽屉，必有一个抽屉至少放了两件物品”的抽屉原理等。这些在老师看来都是小儿科的知识，却见证了我的数论学习生涯的开始。中学时期，我系统地学习了初等数论，从一个个专题到一个个方法，至今深藏在我的脑海里。 反证法是我特别在意的一个方法。这不仅仅是数学上的解决问题的方法，更是一种在生活中解决问题的思考方式。下面通过一个例子来说明一下反证法与一般方法的不同之处。 证明素数的个数是无穷多个： 假设素数的个数是有限的，分别记为P1,P2,但显然，P1,P2,,Pn,则数PPP12Pn1必是合数，,Pn均不能整除P,这又说明P是素数，与假设矛盾！所以素数有无穷多个。 而基于高斯的同余理论所开展的工作使得初等数论迅速发展。近代著名的数学家费马、欧拉、拉格朗日、高斯等人为近代初等数论的发展作出了卓越的贡献。裴蜀定理，费马小定理等成了高中生学习竞赛时必知的定理。假设p是素数，(a,p)1，则ap11(modp)。这是费马在1640年提出的费马小定理，同时它也贯穿了我高中时期的整个数论学习。 解析数论是用解析方法来研究数论中的问题的一个分支，它起源于对素数分布问题的研究。随着不断引进解析的方法来研究，哥德巴赫猜想，孪生素数，华林问题等著名数论问题而迅速发展。而在上世纪，中国踊跃出许多著名数学家，最著名的当属华罗庚和陈景润。华罗庚虽只有初中文化，但自学成才，在杂志上发表《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》被熊庆来发现请到了清华大学工作，逐渐成长为国际大师。无独有偶，陈景润因为改进了华罗庚的《堆叠素数论》而被华罗庚发现，从厦门大学被调到了中科院数学研究所工作，并于1966年对“哥德巴赫猜想”取得了(1+2)的世界最先进的结果，由于其证明过程繁琐复杂，在经历文革岁月的无情摧残后发表修改后的论文。 哥德巴赫猜想，跟费马大定理一样清晰易懂，但缺乏理论证明。世界上大部分的数学家均用殆素数来试图证明它。所谓殆素数，就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就是"1+1"。数学家们共设了两个包围圈，“n+n”和“1+b”。在“n+n”的工作中，数学家们不断缩小包围圈。1924年，数学家拉德马哈尔证明了（7+7）；1932年，数学家爱斯斯尔曼证明了（6+6）；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了（5+5）；1940年，他又证明了（4+4）。1956年，数学家维诺格拉多夫证明了（3+3）。1958年，我国数学家王元又证明了（2+3）。但是，以上所有证明都有一个弱点，就是其中的二个数没有一个是可以肯定为素数的。在另一战场上，1962年，我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明了（1+5）；同年，王元、潘承洞又证明了（1+4）。陈景润首先瞄准并证出了“1+3”，但是苏联和意大利的数学家先发表了论文，对陈景润打击很大，于是陈景润开始攻克“1+2”，并于文革前夕发表了论文，但是并没有取得国际性的轰动。在经过数年的精简证明工作之后，陈景润发表了论文使得世界为之瞩目。 代数数论是以代数整数，或者代数数域为研究对象，是整数研究的一个自然发展。它主要起源于费马大定理的研究：当整数n2时，关于x,y,z的方程xyz没有正整数解。而这一难题在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。值得一提的是，费马对数学的贡献并不只限于数论领域，他是解析几何的发明者之一，对于微积分诞生的贡献也是巨大的，同时他还是概率论的主要创始人。可以说，“业余”的费马比许多专业数学家都要伟大。 几何数论是应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。它由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基，主要研究对象是空间格网。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才可以深入研究。 伴随当今计算机科学的飞速发展，密码学研究成为一门重要的学科。密码学是数论知识应用于实际的一个最好的例子。当前世界上几乎所有具有实用价值的公钥密码体系基本上都是基于数论难题。数论问题的设立与加密和编码相联系，而解密和破译则取决于数论问题的求解。数论问题的难解使得密码不易被破译。因此数论不仅是典型的纯粹数学，而且它又是得到广泛应用的“应用数学”分支。 参考文献： 蔡天新，《数学与人类文明》。 刘建亚，《哥德巴赫猜想与潘承洞》。 徐迟，《哥德巴赫猜想》(选自《中国现当代文学作品与史料选》，浙江大学出版社)。 张婧怡，《数论特点与应用研究》。 nnn 本文来源：https://www.dywdw.cn/59b35bd3998fcc22bcd10dcf.html
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2022-04-13
