利用重要不等式求最大值与最小值

2022-04-10 04:00:06 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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利用重要不等式求最大值与最小值

（麻城实验高中阮晓锋）定理：若x,y为实数，则有

x+y

2

2

2xy(当且仅当x=y时取等号）

推论：若x,y为正数，则有

x+y

xy（当且仅当x=y时取等号） 2

应用：已知x,y为正数，则有：

（1）如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时和x+y有最小值2p （2）如果和x+y是定值s, 那么当且仅当x=y时积xy有最大值

例1：已知x0,当x取什么值时，

12

s4

x

2



81

x

2

的值最小？最小值为多少？

解：∵x≠0∴

x

2

>0,

81

x

2

>0

又

x

2



81

xx

=81∴2

x

2



81

22

x

x

2



81

x

2

=18

（当且仅当

2

=

81

x

2

即x=3时上式取=号）

∴当且仅当x=3时

x

2



81

x

2

有最小值，最小值为18

例2一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个菜园的长，宽分别为多少

时菜园的面积最大，最大值为多少？

解：设矩形的两邻边分别为x,y m,则2x+y=L

 2x+y22xy∴ ∴S=x y

L

2

8xy

12LL

(当且仅当y=2x即x=,y=时取=号） 8L42

LL12

答：矩形的长，宽分别为，时菜园的面积最大，最大的面积为L

248

1

例3：解方程xy-1z-2（x+y+z)

2

解：x>0,y>0,z>0

y-11y-1,z-21z-2 x1

x, ∴222

1

将上述三式相加得(xyz)xy-1z-2

2

（当且仅当x=1,y=2,z=3时取=号）

故原方程的解为x=1,y=2,z=3 例4：设∆ABC的边长a,b,c满足条件

2a

22

1a

b,

2b

22

1b

c,

2c1c

22

a，求S∆ABC

解：由已知得

2

2a

22

1a1b1c

2

2



2b

22



2c

22

abc

∴

（1a)(1b)(1c)

=8abc①

2

又1

a

2

2

2a,1b2b,1c2c

2

2

2

（1 

a

)(1b)(1c)8abc

332

·1= 44

（当且仅当a=b=c=1时上式取=号）故有①知a=b=c=1,从而得S∆ABC=

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