【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《正弦定理和余弦定理详细讲解》，欢迎阅读！
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可sin Asin Bsin C以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，解决不同的三角形问题． 2R2R2R2． 余弦定理：a＝b＋c－2bccos_A，b＝a＋c－2accos_B，c＝a＋b－2abcos_C．余弦222222222abcabcb2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2bc2ac2ab111abc13． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半2224R2径)，并可由此计算R、r. 4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 a＝bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA·
2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
例1．已知在ABC中，c10，A45，C30，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.
解析：
ac
， sinAsinC
csinA10sin45
102，sinCsin30
∴a
∴ B180(AC)105， 又
bc
，
sinBsinC
csinB10sin10562
20sin75205652． sinCsin304
∴b总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；
asinB42.9sin81.80
根据正弦定理，b80.1(cm)；
sinAsin32.00asinC42.9sin66.20
根据正弦定理，c74.1(cm).
sinAsin32.00
【变式2】在ABC中，已知B75，C60，c5，求a、A. 【答案】A180(BC)180(7560)45，
0
0
0
0
0
00
根据正弦定理
56a5
a，∴.
3sin45osin60o
【变式3】在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c 【答案】根据正弦定理
例2．在ABC中，b
abc，得a:b:csinA:sinB:sinC1:2:3.
sinAsinBsinC
3,B60,c1，求：a和A，C．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.
解析：由正弦定理得：
bc
，
sinBsinC
∴sinC
csinB1sin601
， b23
（方法一）∵0C180， ∴C30或C150，
当C150时，BC210180，（舍去）； 当C30时，A90，∴ab2c22． （方法二）∵bc，B60， ∴CB， ∴C60即C为锐角， ∴C30，A90 ∴ab2c22． 总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin(180C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 类型二：余弦定理的应用：
例3．已知ABC中，AB3、BC
0
37、AC4，求ABC中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中BC
37最大，∴BC其所对角A最大，
AB2AC2BC23242(37)21
， 根据余弦定理：cosA
2ABAC2342
∵ 0A180， ∴A120 故ABC中的最大角是A120. 总结升华：
1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：
【变式1】已知ABC中a3, b5, c7, 求角C.
a2b2c25232721
， 【答案】根据余弦定理：cosC
2ab2352
∵0C180， ∴C120
【变式2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c
o
6:2（:31），求ABC的各角的大小．
【答案】设a
6k，b2k，c
31k，k0
2
根据余弦定理得：cosB
6
231
314
6
2， 2
∵0B180，∴B45； 同理可得A60； ∴C180AB75
【变式3】在ABC中，若abcbc，求角A.
2
2
2
b2c2a21
【答案】∵bcabc， ∴cosA
2bc2
2
2
2
∵0A180， ∴A120 类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在ABC中，已知a23，c62，B450，求b及A.
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.
解析：
⑴由余弦定理得：
b2a2c22accosB
=(23)2(62)2223(62)cos450 =12(62)243(31) =8 ∴b22.
⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）
b2c2a2(22)2(62)2(23)21
， ∵cosA
2bc2222(62)
∴A600.
（法二：正弦定理）
a233
∵sinAsinB sin450
b222
又∵622.41.43.8，2321.83.6 ∴a＜c，即00＜A＜900, ∴A600.
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：
【变式1】在ABC中，已知b3, c4, A135.求B和C. 【答案】由余弦定理得：a34234cos13525122， ∴a
2
2
2
o
0
251226.48
bsinA3sin135o
0.327， 由正弦定理得：sinBaa
因为A135为钝角，则B为锐角， ∴B197. ∴C180(AB)2553.
0
0
/
00/
b22，【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2，c62，求角A和sinC
【答案】根据余弦定理可得：
b2c2a2884343
cosA
2bc222262
∵0A180， ∴ A30 ；
csinA
∴由正弦定理得：sinCa
62sin30
2
624
.
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km C.2a km
B.3a km D．2a km
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理1
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－＝3a2，
2
∴AB＝3a. 答案 B
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．22 km C．33 km
B．32 km D．23 km
15
解析 如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，
60∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知
BSsin30°
＝
，所以BS＝sin30°＝32.
sin45°sin45°
答案 B
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 C．353海里
B．352海里 D．70海里
ABAB
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有
CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝CE2＋CF2－2CE·CFcos120° ＝502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案 D
4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
3
A．201＋ m
3C．20(1＋3) m
3
B．201＋ m
2D．30 m
解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中，
DM＝20 m，∠ADM＝30°， 20
∴AM＝DMtan30°＝3(m)．
3∴AB＝AM＋MB＝
20
3＋20 3
3
＝201＋(m)．
3
答案 A
5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝＝( )
A.C.10 10310
10
B.D.
10 55 5
π
，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC4
解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝(2)2＋32－2×22sin∠ABC＝5，所以AC＝5，再由正弦定理：sin∠BAC＝·BC＝2AC
3×
2
25
×3×
310＝.
10
答案 C
6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )
A.C.69
4370 43
B．1 D．2
解析 如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则
AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°
＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t ＝12 900t2－42 000t＋40 000. 当t＝
70
时，DE最小． 43
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700， ∴AC＝107(km)． 答案 107
8．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h
1
在△ABS中，AB＝v，BS＝82，∠BSA＝45°，
21v282
由正弦定理得：＝，
sin30°sin45°∴v＝32(n mile/h)． 答案 32
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析 在△BCD中 ，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
BCsin45°
＝
CDsin30°
，
BC＝
CDsin45°sin30°
＝102(米)．
在Rt△ABC中，tan60°＝＝106(米)． 答案 106
AB
，AB＝BCtan60° BC
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解 在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，得
BC＝
CDsin45°sin30°
＝203.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝203×30
＝＝0.6(米/秒)． 50
11.
3AB＝30(米)，所以升旗速度v＝2t
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意，知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理，得
DBsin∠DAB
＝
ABsin∠ADB
，
于是DB＝＝＝
AB·sin∠DAB53＋3·sin45°
＝
sin∠ADBsin105°
53＋3·sin45°
sin45°cos60°＋cos45°sin60°53
3＋13＋12
＝103(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC 1
＝300＋1 200－2×103×203×＝900.
2得CD＝30(海里)，
故需要的时间t＝
30
＝1(小时)，30
即救援船到达D点需要1小时． 12.
(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到
C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，123cosA＝，cosC＝.
135
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 (1)在△ABC中，因为cosA＝所以sinA＝
54
，sinC＝. 135
5312463
×＋×＝. 13513565
123，cosC＝， 135
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC＝由正弦定理
ABsinC
＝
ACsinB
，得AB＝
ACsinB
×sinC＝
1 2604
×＝1 040(m)． 63565
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
12
＝200(37t2＋70t＋13
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×50)，
因0≤t≤
1 04035
，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短． 13037
1 2605
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙
sinAsinBsinB6313
65从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤≤v≤
500
7101 250
≤3，解得5043
BCACAC
v
－
625
，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速14
1 250625
，](单位：m/min)范围内． 4314
度应控制在[
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2022-07-15
