【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《微积分极限思想推导圆周长面积公式》，欢迎阅读！
圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导？ A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为 n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r 1. 可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2. 积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法 (1) 圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇 本文来源：https://www.dywdw.cn/5eca820164ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb9a.html
下载此文档
搜索文档
阅读：
文档下载
2023-03-15
