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第八届 全国数学大赛 初二试题 （时间：120分钟 满分：140分） 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 得分 评卷人 一、选择 题（每小题5分，共40分） 1、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2、已知方程组5xy3y4与5xby35有相同的解，则a,b的值为( ) ax5x2y A．a1a4a6b2 B．b6 C．b2 D．a14b1 3、甲是乙现在的年龄时，乙l0岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )． A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 4、化简2n42(2n)2(2n3)得（ ）． A．2n1178 B．2n1 C．8 D．74 5、如果式子(1a)11a 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A．1a B．a1 C．a1 D．1a 6、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的 顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F， 给出以下四个结论：①AE=CF； ②△EPF是等腰直角三角形； ③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P 旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有( ) A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个. 7、在实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 8、若p为质数，p35仍为质数，则p57为（ ）. A.质数 B.可为质数也可为合数 C.合数 D.既不是质数也不是合数 得分 评卷人 二、填空题（每小题5分，共40分） 9、若关于x的方程m(x1)2015n(x2)有无数个解，则m2015+n2015＝ ． 10、已知xy3，那么xyxyxy的值为 ． 11、某数的平方根是a2b2和4a6b13，那么这个数是 ． 12、设39432的整数部分为a，小数部分为b，则1111aba4b= ． 13、直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________． 14、如图，已知直线l：y=33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2015的坐标为 . 15．如上图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2， CD=3，则AB= 16、小明、小强、小华三人参加奥林匹克杯数学大赛，他们是来自北京、上海、成都的选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道：(1)小明不是北京的选手；(2)小强不是上海的选手；(3)北京的选手不是一等奖；(4)上海的选手得二等奖；(5)小强不是三等奖。根据上述情况，小强是 的选手，他得的是 等奖。 得分 评卷人 知甲为超重部分支付了0.5元，乙为超重部分支付了1.5元，丙为超重部分支付了2.5元。三人的行李共重120千克。如果这些行李是一个人携带的，则应付9.5元。求三三、解答题（每小题15分，共60分） 得分 评卷人 17、①化简求值：12aa2a1a22a11a2a ，其中a23. ②求25621221241225611的值。 得分 评卷人 18、一圆柱的底面半径为5cm,高AB为5cm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线及路线的长。 19、甲、乙、丙三位同学乘同一趟高铁去上学，每个人的行李都超过了免费的重量，需要另加行李费。已个人的行李各重多少千克？ 得分 评卷人 20、如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y12x2分别交于点D、E（E在D的上方）且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及P的坐标；若不存在，说明理由。 参考解答 一、选择题：D、D、A、C、C、C、C、C 二、填空题：(9)、0；(10)、23；(11)、169；(12)、4；(13)、132；(14)、0,42015；(15)、833； (16)、成都、一. 三、解答题： 17、解：（1）4；（2）4． 18、解：路线一：沿圆柱侧面爬行s2125252 路线二：从A到B到C爬行s222510225 经过比较，路线二最短，最短路线为15cm. 19、解：设甲、乙、丙三人携带行李重量分别为x,y,z千克，免费重量为a千克，得： x+y+z=120， (x-a):(y-a):(z-a):(120-a)=0.5:1.5:2.5:9.5， 整理得：19（x-a）=120-a，19（y-a）=3（120-a），19（z-a）=5（120-a），19（x+y+z）=1080+48a，而x+y+z=120，所以a=（19*120-1080）/48=25，再把a=25代入19（x-a）=120-a，19（y-a）=3（120-a），19（z-a）=5（120-a），x+y+z=120，就得出x=30，y=40，z=50 20、解：存在。 易知：E点的坐标为（t，），D点坐标为（t，t）。 ∵E在D的上方，∴，且t＜。 ∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。 ①若t＞0，PE=DE时，。∴。∴P点坐标为（0，）。 ②若t＞0，PD=DE时，，∴。∴P点坐标为（0，）。 ③若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴。∴，∴DE的中点的坐标为（t，）， ∴P点坐标为（0，87）。 ④若t＜0，PE=DE或PD=DE时，由已知得DE=－t，，t＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。 ⑤若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边时，由已知得DE=－2t，， ∴。∴P点坐标为（0，0） 综上所述：当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或 （0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。 本文来源：https://www.dywdw.cn/68f5c6fea2161479161128b2.html
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2022-03-21
