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第二十三周 分解质因数 专题简析： 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 分析 先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 练习一 1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 分析 先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 练习二 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组， 每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？ 3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？ 例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 1 2、5、14、24、27、55、56、99 分析 14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。 练习三 1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。 □□×□□=1288 2，有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？ 3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。 例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 分析 根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。 练习四 1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。 2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？ 3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？ 例题5 下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。 □□×□□=1995 分析 要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。 练习五 1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。 □□□×□=1995 2，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。 3，有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c=77，求三个数之积是多少？ 第二十四周 分解质因数（二） 专题简析： 许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。 例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？ 分析 三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37和41。 最大积是2×37×41=3034 练习一 1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？ 2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？ 3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。 例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？ 分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。 练习二 1，237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。 2，有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？ 3，有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。 例题3 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样 2 多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？ 分析 根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：1073=29×37，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。 练习三 1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？ 2，老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？ 3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？ 例题4 把155/186和221/187约分。 分析 这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，然后用其中的一个质数去约分。 （1）186－155=31，31是质数，用31约分得：155/186=5/6； （2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：221/187=13/11。 练习四 请用上面的方法把下面的几个分数约分。 46/69 143/117 247/323 161/253 例题5 小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？ 分析 根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因数和216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，小明买了24张画片，符合题意。 练习五 1，求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？ 2，自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？ 本文来源：https://www.dywdw.cn/784b04b66b0203d8ce2f0066f5335a8102d266ba.html
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2024-02-07
