抛物线的几个常见结论及其用

2023-03-22 23:06:25 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速翻开思路。结论一：假设AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦〔过焦点的弦〕，

p2

且A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么：x1x2，y1y2p2。

4

例：直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F，求证：

11AFBF

为定值。

结论二：〔1〕假设AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，

那么

AB

2P

sin2

〔α≠0〕。〔2〕焦点弦中通径〔过焦点且垂直于抛物

线对称轴的弦〕最短。

例：过抛物线y29x的焦点的弦AB长为12，那么直线AB 倾斜角为。AB倾斜角为或



3

2

。 3

结论三：两个相切：〔1〕以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

〔2〕过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：〔1〕以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，

垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。

y M P O N

B

A

Q

F

x

结论四：假设抛物线方程为y22px(p0)，过〔2p，0〕的直线与之交于A、B两点，那么OA⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为

2pt)，O为抛物线的顶点，显然kOP点P坐标为(2pt，

2

x2pt，

2

y2pt，

设抛物线x22py上动

2pt2

t，即t的几何意义为过2pt

抛物线顶点O的动弦OP的斜率．

例直线y2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为5

13，求P的值．

2ptA)，(2ptB2，2ptB)，解析：设点A，B分别为(2ptA2，

那么tA

11

kOA2

，tB

1

kOA2． kOB

A，B的坐标分别为

p5p

．，p，(8p，4p)∴AB8p(p4p)213p513．∴p2． 

222

2

练习：

1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，

假设线段PF与FQ的长分别是p，q，那么11= 故114a】

p

q

p

q

2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

pp

【证明：抛物线焦点为F0．设直线AB的方程为xmy， ，

2



2

代入抛物线方程，得y22pmyp20．假设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1y2p2．

∵BC∥x轴，且点C在准线kCO

2p

； y1

又由y122px1，得kAOy12p，故kCOkAO，即直线AC经过原点O．】

x1

y1

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