广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

2022-07-08 11:13:17 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

阅读： ] [

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。下载word有问题请添加QQ：admin处理，感谢您的支持与谅解。

【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法》，欢迎阅读！
判别,广义,收敛,积分

第二节广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算，在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值。对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）（fx)在[a， +∞ )上的广义积分

a

f(x)dx

收敛的充分必要条件是：0, 存在A>0, 使得b, b〉A时，恒有

|bf(x)dx|

证明：对lim

bb

b/





f(x)dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．

ba

同样对瑕积分f(x)dx（b为瑕点）, 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在［a,b)上有定义，在其任何闭子区间［a， b–]上常义可积，则瑕积分f(x)dx收敛

ab

的充要条件是: 0 , 0, 只要0</，就有

|bf(x)dx|

定义9。5如果广义积分|f(x)|dx收敛，我们称广义积分

a

b/

a



f(x)dx绝对收敛（也称（fx）在[a,+)上绝对可积］; 如f(x)dxa



收敛而非绝对收敛,则称条件可积．

由于A,A/a，均有 |Af(x)dx|

A/



a

f(x)dx条件收敛，也称f（x)在[a，+)上

A

A/

|f(x)|dx

因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子.

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：

定理9。4（无限区间上的广义积分）设在[a,+）上恒有

a

则广义积分f(x)dx必f(x)dx绝对收敛，

a



0f(x)k(x),（k为正常数）

则当(x)dx收敛时，

a

a





f(x)dx也收敛;

当



a

f(x)dx发散时，

a

(x)dx也发散．

证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f（x)， g（x）均为［a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k，使

0f(x)kg(x),x[a, b)，则

1）如g(x)dx收敛，则f(a)dx也收敛。

a

a

bb

2）如f(x)dx发散，则g(x)dx也发散．

a

a

bb

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

f(x)

l,定理9。6 如果（fx), g 且lim（x)是[a,+)上的非负函数，xg(x)

则

(1) 如果0l, 且

a

g(x)dx收敛，则积分af(x)dx也收敛．

a



（2) 如果0l，且证明：如果lim

x

则积分f(x)dx也发散． g(x)dx发散，

a



f(x)

l0,则对于0(l0)，存在A， g(x)

f(x)

当xA时， 0ll

g(x)

即(l)g(x)f(x)(l)g(x)成立. 显然

a



f(x)dx与

a



g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论。

使用同样的方法，我们有

定理9。7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(x)dx与g(x)dx如

aa 果f（x）, g （x) 是非负函数,且lim

xb

bb

f(x)

l,则 g(x)

ba

（1）当0l，且g(x)dx收敛时，则f(x)dx也收敛．

a

b

（2）当0l，且g(x)dx发散时，则f(x)dx也发散．

a

a

bb

对无限区间上的广义积分中，取



a

1

dx作比较标准,则得到下列px

Cauchy判别法：设f（x）是[a，+)的函数，在其任意闭区间上可积，那么:

本文来源：https://www.dywdw.cn/85e5a603cf1755270722192e453610661ed95a71.html