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三角形余弦定理公式及证明 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学 定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 1 什幺是三角形余弦定理 三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重 要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知 三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起 来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角 的余弦值。 1 三角形余弦定理的公式 对于边长为 a、b、c 而相应角为 A、B、C 的 三角形，有：a²=b²+c²-bc·cosAb²=a²+c²-ac·cosBc²=a²+b²-ab·cosC 也可表示为： cosC=(a²+b²-c²)/abcosB=(a²+c²-b²)/accosA=(c²+b²-a²)/bc 这个定理也可以通过把 三角形分为两个直角三角形来证明。如果这个角不是两条边的夹角，那幺三 角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。 1 三角形余弦定理的证明 平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面 的向量的公式 a·b=|a||b|Cosθ 本来还是由余弦定理得出来的，怎幺又能反过来 证明余弦定理)∵如图，有 a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代 表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里 用到了三角函数公式)再拆开，得 c²=a²+b²-2abcosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的 cosC=(c2-b2-a2)/2ab 就是将 cosC 移到左边表示一下。 平面几何证法在任意△ABC 中做 AD⊥BC.∠C 所对的边为 c，∠B 所对的边 本文来源：https://www.dywdw.cn/865d9e1577eeaeaad1f34693daef5ef7bb0d1237.html
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2024-02-07
