高中数学正弦定理和公式适用条件

2023-02-26 14:03:28 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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正弦定理和公式

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦

正弦定理:

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

＝＝＝sin Asin Bsin C

abc

2R，其中R是三角形外接圆的半径．

正弦定理的变形公式:

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

abc

(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式．

(4) asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA

（5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a

在解三角形中的应用：

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决边角之间的转换关系

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

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