认清“增根”和“无解”

2023-03-16 08:04:23 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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认清,解”

认清“增根”和“无解”

分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．

分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．

可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑．

一、利用分式方程有增根确定字母的值

解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．

xm1有增根，则m的值为（） x1(x1)(x2)

A.0或3 B.1 C.1或2 D.3

例1 若分式方程

解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2.

令(x1)(x2)0，解得x1或x2．

因为分式方程有增根，将x1，x2分别代入x=m-2，得m3或m0．所以m3或m0时，原分式方程有增根．故选A．二、利用分式方程无解求字母的值

解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．

例2 若关于x的分式方程

xa3

1无解，则a的值为． x1x

解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得(a2)x3．当整式方程无解时，则a20，解得a2．

当分式方程有增根时，则最简公分母x(x1)0，解得x0或x1． ①当x0时，a无解；②当x1时，a1．

所以当a1或a=2时，原分式方程无解．故填1或2．

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