2009年四川省绵阳市中考数学试题

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绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．如果向东走80 m记为80 m，那么向西走60 m记为

A．－60 m B．︱－60︱m C．－（－60）m D．2．点P（－2，1）关于原点对称的点的坐标为

A．（2，1） B．（1，－2） C．（2，－1） D．（－2，1） 3．右图中的正五棱柱的左视图应为

A． B． C． D．

4．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m，用科学记数法表示这个数是

A．0.156×105 B．0.156×105 C．1.56×106 D．1.56×106

－

－

1m 60

5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =

503

A．50 cm B．253cm C．cm D．503cm

3

6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：

成绩／m 人数

1.50 2

1.61 3

1.66 2

1.70 1

1.75 5

1.78 1

O M

P

N

则这些运动员成绩的中位数是

A．1.66 B．1.67 C．1.68 D．1.75

7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为

A．15或30 B．30或45 C．45或60 D．30或60

8．小明在解关于x、y的二元一次方程组

xy3,

时得到了正确结果

3xy1x,

后

y1.

来发现“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是 A． = 1， = 1 B． = 2， = 1 C． = 1， = 2 D． = 2， = 2 9．已知12n是正整数，则实数n的最大值为

A．12 B．11 C．8 D．3

y

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A、C在

A B O

D C

x

k

反比例函数y的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为

x

8，则k =

A．－2 B．2 C．－4 D．4

11．如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，

连接DE，则DE:AC =

A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25

12．如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆

O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是 A．

A

B

D

725275

a B．a C．a2 D．a2 36363636

E

C

C O2 P A

O1

B

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上． 13．计算：（2a2）2 = ．

14．如图，直线a∥b，l与a、b交于E、F点，PF平分∠EFD交a于P点，a 若∠1 = 70，则∠2 = ．

15．如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑

b

l E 1

2

P D

F

菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）．

B

A E D

D

E A

B

C

16．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平

C

线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A = 30．已知楼房CD

21米，且与树BE之间的距离BC = 30米，则此树的高度约为米．（结果保留

两个有效数字，3≈1.732）

17．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中

一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是． 18．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数

2009应排的位置是第行第列．

第1行第2行第3行第4行 „„

三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

（1）计算：（－1）2009 + 3（tan 60）1－︱1－3︱+（3.14－）0．

－

第1列 1 7

第2列 2 6 8 12

第3列 3 5 9 11

第4列

4 10

x3x211)(1)（2）先化简，再选择一个合适的x值代入求值：(． 2

x11xx1

20．新民场镇地处城郊，镇政府为进一步改善场镇人居环境，准备在街道两边植种行道树，

行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民，并将结果绘制成如下扇形统计图，其中∠AOB = 126．

B

请根据扇形统计图，完成下列问题：

（1）本次调查了多少名居民？其中喜爱柳树的居民有多少人？（2）请将扇形统计图改成条形统计图（在图中完成）；

（3）请根据此项调查，对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议．

A 梧桐柳

10% 树其它

10%

360 320 280 240 200 160 120 80 40

香樟小叶榕梧桐柳树其它喜爱的树种人数

小叶榕 280人

O

香樟 40%

21．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

22．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．

（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？

（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．

23．已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设32

抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．

（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；

（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60， AB与PC交于Q点．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：APPBAQ

QB

；（3）若∠ABP = 15，△ABC的面积为43，求PC的长．

y

P Q

C A

O

B

x P

A Q O

B

C

25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

O

E B

x

O

E B

y

F

A

C

A

C

F x

O E

B

x

A

C

y

y

F

绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案

一、选择题 ACBC ACDB BADD 二、填空题

13．4a4 14．35 15．如图所示 16．3.7 17．三、解答题

19．（1）原式=－1 + 3（3）1－（3－1）+ 1 =－1 + 3÷3－3+ 1 + 1 = 1．

－

1

18．670，3 6

（2）原式

1x1xx11x23x212x1(12x)(12x)1

====2

12xx1x11xx1x1(1x)(1x)x11

． 2x1

取x = 0，则原式=－1．

1

（注：x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）

2

20．（1） ∵

A B C

E D

126

×100％ = 35％， 360

∴ 280÷35％ = 800，800×（1－40％－35％－10％－10％）= 40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．

人数

（2）如图．

（3）建议多植种香樟树．（注：答案不惟一）

21．（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）

= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，

∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．

360 320 280 240 200 160 120 80 40

香樟小叶榕梧桐柳树其它喜爱的树种

（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．

即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．

此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4．

22．（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意可列方程为

x + 20 = 2x－10，解得 x = 30．即一年前李大爷共买了60只种兔．（2）设李大爷卖A种兔x只，则卖B种兔30－x只，则由题意得 x＜30－x， ① 15x +（30－x）×6≥280， ② 解 ①，得 x＜15；解 ②，得x≥∵ x是整数，

100100

，即 ≤x＜15． 99

100

≈11.11， ∴ x = 12，13，14． 9

即李大爷有三种卖兔方案：

方案一卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）；方案二卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）；方案三卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）．显然，方案三获利最大，最大利润为306元．

32

a(2)(2)c,132

23．（1）由题意得  解得 a，c．

2211,

2a

123

xx． 22123

（2）令 y = 0，即 xx0，整理得 x2 + 2x－3 = 0．

22

∴ 抛物线的解析式为y

变形为（x + 3）（x－1）= 0，解得 x1 =－3，x2 = 1． ∴ A（－3，0），B（1，0）．（3）将 x =－l代入y

123

xx 中，得 y = 2，即P（－1，2）． 22

设直线PB的解析式为 y = kx + b，于是 2 =－k + b，且 0 = k + b．解得 k =－1，b = 1．即直线PB的解析式为 y =－x + 1．令 x = 0，则 y = 1，即 OC = 1．又 ∵ AB = 1－（－3）= 4，

∴ S△ABC =

11

×AB×OC =×4×1 = 2，即△ABC的面积为2． 22

P

A Q O

F

C

24．（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60，∠BAC =∠BPC = 60，

∴ ∠ACB = 180－∠ABC－∠BAC = 60， ∴ △ABC是等边三角形．

（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60．

R B

E

AQAP

又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD，． 

QBBD

∵ ∠BPD =∠BDP = 60， ∴ PB = BD． ∴

H

G M

AQAP

． QBPB

N

（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60． ∵

11

BC · h = 43，即BC · BC· sin 60 = 43，解得BC = 4． 22

连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．

由△ABC是正三角形知∠BOC = 120，从而得∠OCE = 30， ∴ OC

CE4

．

cos303

由∠ABP = 15 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150． ∴ ∠PCO =（180－150）÷2 = 15．

如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15，则∠RNG = 30，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15 = MN．

∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30，GH = GN · sin30．于是 RH = GH，MN = RN · sin45，∴ cos15 =

26

． 4

26

． 3

在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15 =2225．（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．

如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE． ∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135．

由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF． ∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90．

在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90， ∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．

（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF． ∴ FH = OE，EH = OA．

∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．

由BF是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a．又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a， ∴ EH = m－a + a = m．

又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF， ∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且

A G O

E B

C

F x

y

AOOEna

，，即EHFHhmah

2

ama2a(ma)

整理得 nh = ah + am－a，∴ h．

nana

把h =（t + 1）a 代入得

a(ma)

(t1)a，

na

y

F

A

C

即 m－a =（t + 1）（n－a）．

而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．化简得 ta = n，解得a∵ t＞1， ∴

n． t

O E

n

＜n＜m，故E在OB边上． t

nn

∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．

tt

B H x

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