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2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1，2，3，，集合2，，1. 已知全集，则为 2， 3， 2，3， D. 2， A. B. C. 2. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，前5项和，，则 A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 4. 已知平面向量，若与垂直，则 B. 2 C. D. 1 5. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为 A. A. B. C. D. 6. 某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A. B. C. D. 7. 函数 的图象大致为 第1页，共17页 A. B. C. D. 8. 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为 A. 3 9. 设数对，B. 5 C. 8 D. 11 ，则满足条件的有序实，若对任意实数x都有的对数为 第2页，共17页 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为 A. B. 3 C. D. 4 11. 过抛物线上点交于不同与P的点A，B，A. 直线AB过定点 C. 直线BC斜率一定 12. 函数则的定义域为作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别若，，则下列结论正确的是 B. 直线AB斜率一定 D. 直线AC斜率一定 ，为其导函数．若且，的解集为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线的实轴长是______ ． 14. 已知函数是偶函数，则k的值为______ ． 15. 在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______． 16. 我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，______． 用表示它的前n项和，若已知，那么三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图： Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数； 第3页，共17页 Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率． 18. 已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，． Ⅰ求C； Ⅱ若，的面积为，求的值． 19. 如图在等腰直角三角形ABC中，DC折叠得到三棱锥，如图BC，的中点． Ⅰ求证：平面DCG； Ⅱ求三棱锥的体积． ，，其中，点D为AB中点，将，点M，N，G分别为沿，第4页，共17页 20. 已知函数求在点求证：在． 处的切线方程； 上仅有2个零点． 21. 椭圆E的焦点为直线，又知点和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的，直线BH记为，与交于点设，已知当时， Ⅰ求椭圆E的方程； Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值． 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线P是曲线的参数方程为为参数，已知点，点上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立第5页，共17页 极坐标系． Ⅰ求点M的轨迹Ⅱ已知直线l： 23. 已知函数Ⅰ若的极坐标方程； 与曲线交于A，B两点，若，求k的值 ，． 的最小值为1，求实数a的值； 的解集包含，求实数a的取值范围． Ⅱ若关于x的不等式 第6页，共17页 -------- 答案与解析 -------- 1.答案：D 解析：【分析】 本题考查了集合的运算，属于基础题． 由题意，集合，从而求得【解答】 解：， 2，； 故选D． 2.答案：A 2，． 解析：解：复数，解得． 在复平面内对应的点在第二象限， 实数m的取值范围是． 故选：A． 由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题． 3.答案：B 解析：解：， 则， 则公差，， 则． 故选：B． 根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题． 4.答案：C ，， 解析：解：平面向量，若，求得与垂直， ， 故选：C． 由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值． 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题． 5.答案：C 第7页，共17页 解析：解：设大正方形的边长为4，则面积阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为另外一部分为梯形，上底为故概率． ，下底为，高， ，面积，面积， ， 故选：C． 先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求． 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题． 6.答案：B 解析：解：由题意知，该程序计算的是数列， 前四项的和再加上1． ． 故选：B． 分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解． 本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构． 7.答案：D 解析：解：当时，，则C， 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，为增函数，排除A， 故选：D． 根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 8.答案：D 解析：解：作出可行域如图， 由所以动直线目标函数取得最大值． 知，， 的纵截距取得最大值时， 第8页，共17页 由得． 结合可行域可知当动直线经过点时， 目标函数取得最大值． 故选：D． 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线最大值即可． 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.答案：B 过点时，z 解析：解：对于任意实数x都有则函数的周期相同，若此时，此时若，则方程等价为，则综上满足条件的有序实数组，则为， ，， ， ， ， ， ， 共有2组， 故选：B． 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 10.答案：C 解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体． 如图所示： 所以故选：C． ． 第9页，共17页 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径． 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 11.答案：B 解析：解：设直线的方程为：则的方程为的方程为设，，， ， ，整理可得， ，可得设， ， 的斜率为k，则，的斜率分别为：，， 联立直线与抛物线的方程：所以，所以，代入直线中可得，即； 联立直线与抛物线的方程可得，整理可得 所以，可得，代入中可得，即； 联立直线与抛物线的方程：，整理可得，， 所以，代入抛物线的方程可得，可得； 所以为定值； 故选：B． B，由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，C的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值． 本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题． 12.答案：D 第10页，共17页 解析：解：令由题意可得，当又由， ，， 时，，函数单调递减，当，函数单调递减， ，时，， 可得即， 时，结合函数图象可知，． 故选：D． 结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式． 本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题． 13.答案：4 解析：解：双曲线化为标准方程为 即双曲线故答案为：4 双曲线的实轴长是4 化为标准方程为，即可求得实轴长． 本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题． 14.答案： 解析：解： 由函数是偶函数，可知 即， 对一切恒成立， 故答案为． 利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用． 本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性． 第11页，共17页 15.答案： 解析：解：如图， 以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 0，，1，，0，，1，， 则设，1，． ，，，，，，． 当且仅当． 令当，即长度的最小值是故答案为：． ，则时，． ． ． 时等号成立以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题． 16.答案： 第12页，共17页 解析：解：， ， ， ，，， ， ， 以上累加得：， ， 故答案为：． 根据条件，利用累加法得到本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题． 17.答案：解：Ⅰ由题意得： ， 解得， 设中位数是，则解得，中位数是125． Ⅱ由， 估计一天行走步数不大于130百步的人数为98． Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人， 在区间中有7人， 按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人， 和中各抽取1人， 再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数， 这两人均来自区间包含的基本事件个数， 这两人均来自区间的概率． ， ，从而，． ， 解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数． Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数． Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率． 本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：Ⅰ， ， ， ， 第13页，共17页 ， 而C为三角形的内角， ； Ⅱ的面积为，及，得， 化简可得， 又，由余弦定理，得化简得， ， ， 解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值， Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出． 本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题． 19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，， 在三棱锥中，，， 是的中点，，， ，平面DGC， 点M，N，分别为，BC的中点．， 平面DCG． Ⅱ解：由图知，，， 平面， 又，是等边三角形， ，，，， 三棱锥的体积： ． ， 解析：Ⅰ推导出DGC，推导出Ⅱ由，边三角形，三棱锥，，由此能证明，的体积，从而平面DCG． ，得，平面，进而，推导出平面是等，由此能求出结果． 第14页，共17页 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 切点为． 20.答案：解：． ， 在点处的切线方程为：，化为：． 证明：． 时，，， 函数在上单调递增，而， 函数在上只有一个零点0． 时，函数而存在唯一实数且函数又函数综上可得：在在在，上存在唯一零点，而在上仅有2个零点． 在，，使得上单调递减，． 上单调递增， ， ， 上单调递增． ，上无零点． ． 解析：切点为分类讨论：上只有一个零点可得，利用点斜式即可得出切线方程． 时，利用导数研究其单调性可得，函数在时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为由已知当时，不妨设，由椭圆定义得，从而故此时点A在y轴上，不妨设所以， ； ，则， ，其中， ， ，从而由已知条件可得， ，代入椭圆方程，解得，故所求椭圆方程为：第15页，共17页 Ⅱ证明：如图所示： ， 设点，设直线AB的方程为：，， ， ，代入椭圆， 中，得：， 由题设知，直线BH斜率，而直线方程为：，代入， ，得， 直线BH的方程为：故点C的横坐标是定值3． 解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程； 设点，，设直线AB的方程为：理可得，进而得到直线BH斜率，与椭圆方程联立，利用韦达定，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3． 本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题． 22.答案：解：Ⅰ曲线由于点M满足所以转换为直角坐标方程为的参数方程为， 为参数， ． 为参数，设， 转换为极坐标方程为 Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为设，，由于， 所以，即， ， 第16页，共17页 由于， 所以，解得． 所以解得． ， 解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． ，． 23.答案：解：函数 解得， 或； ， ，可得：， 不等式即：且的解集包含，． ， ． ，． 时，不等式即：实数a的取值范围： 解析：Ⅰ化简实数a的值； Ⅱ化简不等式的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高． 第17页，共17页 本文来源：http://www.dywdw.cn/9d63b835a000a6c30c22590102020740be1ecd64.html
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2022-10-09
