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2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学(理)试题 一、单选题 1.23i( ) A.1312i 【答案】D 【解析】根据复数的乘法运算法则计算可得结果. 【详解】 B.1312i C.512i D.512i 223i2412i9i2512i. 故选:D. 【点睛】 本题考查复数的乘法运算,属于基础题. 2.已知命题p为xR,5x22x20,则命题p的否定为( ) A.xR,5x22x20 C.xR,5x22x20 【答案】C 【解析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果. 【详解】 由含全称量词的否定的定义可得命题p的否定为:xR,5x22x20. 故选:C. 【点睛】 本题考查含量词的命题的否定,属于基础题. 3.曲线y8A. 3B.xR,5x22x20 D.xR,5x22x20 x2与x轴及直线x2所围成的图形的面积为( ) B.4 3C.3 4D.1 2【答案】A 【解析】根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解. 【详解】 第 1 页 共 18 页 13282xdxx 依题意所围图形面积为3030故选:A 【点睛】 本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积,属于基础题. 4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为( ) 2 A.5 【答案】C B.10 C.13 D.32 【解析】根据三视图知几何体为三棱锥,勾股定理求出最长棱长. 【详解】 根据三视图知几何体为三棱锥, 其中AC1,BC3,DC3,且ACBC,BCCD,DCCA, 该几何体的最长棱长为BD223213. 故选:C 【点睛】 本题考查根据三视图还原几何体,属于基础题. 5.函数fx2cosxsinx的最小正周期为( ) 22A. 2B. C.3 2D.2 第 2 页 共 18 页 【答案】B 【解析】利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式,的值代入周期计算公式即可得解。 【详解】 因为fxcosx12213cos2x,所以fx的最小正周期为. 222故选:B 【点睛】 本题考查同角三角函数的平方关系及降幂公式,余弦型函数的周期性,属于基础题. 6.如图是函数yfx的导函数yfx的图象,下列说法正确的是( ) A.x1是函数yfx的极小值点 B.x1是函数yfx的极大值点 C.函数yfx在1,上是减函数 D.函数yfx在2,2上是增函数 【答案】D 【解析】根据导函数的符号可确定fx的单调性,结合极值点的定义可确定正确结果. 【详解】 由图象可知,当x2,2时,fx0;当x2,时,fx0, fx在2,2上单调递增,在2,上单调递减,可知C错误,D正确; x1和x1不是函数的极值点,可知A,B错误. 故选:D. 【点睛】 本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系,涉及到极值点的定义的应用,属于基础题. 7.已知直线a、b,平面、,则以下结论正确的是( ) 第 3 页 共 18 页 A.若a//b,b,则a// B.若a//b,a,b,则// C.若a,b,a//,b//,则// D.若ab,b,a,则a// 【答案】D 【解析】根据线面平行、面面平行的判定定理排除A、B、C即可确定答案. 【详解】 A选项,若a//b,b,则a//或a; B选项,若a//b,a,b,则//或,相交; C选项,若a,b,a//,b//,加上条件a、b相交可推出//; D选项正确. 故选:D 【点睛】 本题考查空间中点线面之间的位置关系,线面平行、面面平行的判定定理,属于基础题. 8.执行如图程序框图,则输出的s为( ) A.100 【答案】B B.91 C.90 D.89 【解析】按照程序框图运行程序,直到不满足i4时,输出结果即可. 【详解】 按照程序框图运行程序,输入:i1,k100,s0,满足i4,循环; s0100100,k10010,i2,满足i4,循环; 10第 4 页 共 18 页 s1001090,ks90191,k故选:B. 【点睛】 101,i3,满足i4,循环; 101,i4,不满足i4,输出s91. 10本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果的问题,属于基础题. 9.若不等式tA.4 313,当x0,2时恒成立,则实数t的最大值为( ) 63xx108B.2 C. D. 33【答案】C 【解析】令fx13,利用导数可求得fx在0,2上的最小值,得到63xxtfxmin,从而得到结果. 【详解】 令fx13x189x188x0x2, 63xxx63x3x26xfx83x26x188x6x63x6x22224x2108x1083x6x22122x29x93x26x2122x3x33x26x, 33当x0,时,fx0;当x,2时,fx0, 2233fx在0,上单调递减,在,2上单调递增,22183fxminf23, 269288tfx对x0,2恒成立,tfxmin,即t的最大值为. 33故选:C. 【点睛】 本题考查恒成立问题的求解,关键是能够将恒成立问题转化为函数最值的求解问题,通过导数求得函数最值,从而得到参数范围. 10.已知函数fx1xalnx存在极值点,则实数a的取值范围为( ) x第 5 页 共 18 页 A.2, C.2, 【答案】A B.,2 D.,22, 【解析】求出函数的定义域及导数,函数fx存在极值点则方程x2ax10在(0,)上有解,分类讨论函数单调性从而确定极值点. 【详解】 1ax2ax1fx的定义域为(0,),f(x)21, 2xxx对于一元二次方程x2ax10,△a24,函数fx存在极值点则方程x2ax10在(0,)上有解,a240a2或a2,方程的根为aa24 ,x2①当a2时,f(x)0恒成立,fx在(0,)上单调递减且无极值点; 22aa4aa4时,f(x)0,函数fx单②当a2时,在0x及x22aa24aa24调递减;在时,f(x)0,函数fx单调递增,则函数x22有2个极值点; 2aa4③当a2时,x0,所以x(0,)时,f(x)0,函数fx单2调递减且无极值点. 综上所述,a2. 故选:A 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点,属于中档题. 11.设函数fx是定义在R上的可导函数,其导函数为f'x,且f22,2fxf'xA.2, 【答案】B 2337fxx,则的解集为( ) 10105B.,2 C.2, D.,2 第 6 页 共 18 页 【解析】构造新函数F(x)fx10x5,求出函数导数利用所给不等式确定237F(x)符号从而确定函数F(x)的单调性,结合F(2)0即可解不等式F(x)0即237. fxx105【详解】 2373F(x)fxxF(x)2fxfx令,则, 105103因为2fxfx,所以F(x)0,函数F(x)在R上单调递增, 10372且F(2)[f(2)]0, 55237fxx所以不等式F(x)0即的解集为,2. 105故选:B 【点睛】 本题考查利用函数单调性解不等式,复合函数求导,构造新函数是解题关键,属于中档题. x2y212.已知椭圆E:221ab0的左焦点为F,E与过原点的直线相交于A、abB两点,连接AF、BF,若AFBF,sinFABA.13 16B.13 175 ,则E的离心率e为( )131313C. D. 1819【答案】B 【解析】设椭圆右焦点为F,可证得四边形AFBF为矩形,从而得到FFAB2c;利用椭圆定义和直角三角形边长关系可求得方程,从而求得离心率. 【详解】 设椭圆右焦点为F,连接AF,BF. 17AB2a,从而构造出关于a,c的齐次13 第 7 页 共 18 页 O为AB,FF中点,四边形AFBF为平行四边形,又AFBF, 四边形AFBF为矩形,FFAB2c. 551212AB,则AFAB,BFAFAB, ,BF131313131734c13BFBFAB2a,即c2a,e. 1313a17sinFAB故选:B. 【点睛】 本题考查椭圆离心率的求解问题,关键是能够结合椭圆的对称性和定义构造出关于a,c的齐次方程,进而配凑出离心率的形式. 二、填空题 13.函数yex的导数y'______. 【答案】ex 【解析】直接利用复合函数求导法则求导即可. 【详解】 yex 【点睛】 本题考查复合函数的导数,属于基础题. 14.某校有高一、高二、高三三个年级的学生,数量分别为780人、720人、660人,为了解他们的视力是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从高二年级抽取了12人,则n为______. 【答案】36 【解析】根据高二年级人数和总人数可计算得到抽样比,利用抽样比可求得样本容量. 【详解】 127201n36. ,1由题意得:高二年级抽样比为78072066033故答案为:36. 【点睛】 本题考查分层抽样中样本容量、抽样比的计算,属于基础题. 15.在区间0,1上随机取一个数x,在区间0,2上随机取一个数y,使xy1成立的概率为______. 第 8 页 共 18 页 【答案】1 4【解析】在平面直角坐标系中画出x,y构成的平面区域以及满足xy1的点构成的区域,根据几何概型概率公式可求得结果. 【详解】 由题意得:x,y构成的平面区域为如下图所示的矩形,则满足xy1的所有点所构成的区域为图中的阴影部分: 111使xy1成立的概率1. 2P1241故答案为:. 4【点睛】 本题考查几何概型中的面积型问题的求解,属于基础题. 16.已知抛物线C1:y2x24x和C2:y2x2m有且仅有一条公切线(同时与C1和C2相切的直线称为C1和C2的公切线),则m______. 【答案】1 【解析】设公切线与两曲线相切于x0,y0,利用导数的几何意义可构造方程求得x0,22进而可利用y02x04x02x0m求得结果. 【详解】 由y2x4x得:y4x4;由y2xm得:y4x. 22设公切线与两曲线相切的切点为x0,y0,则4x044x0,解得:x0222y02x04x02x0m,即m4x04x0121. 1, 2故答案为:1. 第 9 页 共 18 页 【点睛】 本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题,关键是能够根据导数的几何意义,得到斜率的等量关系. 三、解答题 17.已知函数f(x)x33ax2,曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xym0. (Ⅰ)求实数a,m的值; (Ⅱ)求f(x)在区间[1,2]上的最值. 【答案】(Ⅰ)最大值为2,最小值为242.(Ⅱ)最大值为2,最小值为242. 【解析】(Ⅰ)切点(1,y)在函数f(x)x3ax2上,也在切线方程为3xym0上,得到一个式子,切线的斜率等于曲线yf(x)在x1的导数,得到另外一个式子,联立可求实数a,m的值;(Ⅱ)函数f(x)在闭区间的最值在极值点或者端点处取得,通过比较大小可得最大值和最小值. 【详解】 解:(Ⅰ)f(x)3x3a, ∵曲线f(x)x33ax2在x1处的切线方程为3xym0, 23f(1)33a3∴解得a2,m0. f(1)33a3m32(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)x6x2,则f(x)3x6, 令f(x)0,解得x2, ∴f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,2]上单调递增, 3又f(1)1623,f(2)26222,f223622242, ∴f(x)在区间[1,2]上的最大值为2,最小值为242. 【点睛】 本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题. 18.某家庭为了解冬季用电量y(度)与气温xC之间的关系,随机统计了某5天第 10 页 共 18 页 的用电量与当天气温,并制作了对照表,经过统计分析,发现气温在一定范围内时,用电量与气温具有线性相关关系: xC 0 15 1 12 2 11 3 9 4 8 y(度) (1)求出用电量y关于气温x的线性回归方程; (2)在这5天中随机抽取两天,求至少有一天用电量低于10(度)的概率. (附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为bxi1nixyiyi,xi1nx2aybx) 【答案】(1)y1.7x14.4 (2)7 10【解析】(1)根据表中数据计算得到最小二乘法所需数据,根据最小二乘法计算可得结果; (2)采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】 (1)由表格数据知:xn15121198012342,y11, 55xxyy0215114281117,iii1xixi1n202124210, 222bxxyyiii1nxixi1n2171.7,aybx111.7214.4. 10用电量y关于气温x的线性回归方程为y1.7x14.4. (2)假设事件A为随机从5天中抽取2天,至少有一天用电量低于10度, 从这5天中随机抽取2天,总共有15,12,15,9,12,11,12,9,15,11,15,8,第 11 页 共 18 页 12,8,11,9,11,8,9,8,10种抽取方法; 用电量至少有1天低于10度的情况有15,9,15,8,12,9,12,8,11,9,11,8,9,8,共7种情况; PA7. 107. 10在这5天中随机抽取两天,至少有一天用电量低于10度的概率为【点睛】 本题考查利用最小二乘法求解线性回归直线、古典概型概率问题的求解;对于基本事件个数较少的古典概型问题,通常采用列举法来进行求解. 19.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bccosAacosC. (1)求A的大小; (2)若a2,且SABC3,求bc的值. 【答案】(1)A3 (2)bc4 【解析】(1)利用正弦定理边化角,结合两角和差公式可求得cosA,进而得到结果; (2)利用三角形面积公式可构造方程求得bc,代入余弦定理中,构造出关于bc的方程,解方程求得结果. 【详解】 (1)由正弦定理得:2sinBsinCcosAsinAcosC, 即2sinBcosAsinAcosCcosAsinCsinACsinB, B0,,sinB0,cosAA0,,A1. 23. 11(2)SABCbcsinAbcsin3,bc4, 2231b2c2a2b2c24由余弦定理得:cosA, 22bc8b2c2bc2bcbc88,解得:bc4. 【点睛】 本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识,属于常考题型. 第 12 页 共 18 页 2220.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,已知PD平面ABCD,E为PC的中点,PDCD2,过点E作EFPB于F,连接DF,BD,DE. (1)求证:平面DEF平面PBC; (2)若直线BP与平面ABCD所成角的正切值为成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5,求平面DEF与平面ABCD所56 6【解析】(1)证明BC⊥平面PCD推出BCDE,再证明DE平面PBC推出(2)利用线面DEPB,然后证明PB平面DEF从而由线面垂直推出面面垂直;角的正切值求出AD,以D为坐标中心建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,代入公式cosPD,BP【详解】 (1)证明:∵PD平面ABCD,∴PDBC, 又∵DCBC,DCPDD,DC平面PCD,PD平面PCD, ∴BC⊥平面PCD,∴BCDE, 又∵PDCD,∴DEPC, PDBPDPBP即可得解. DEBC,∴DE平面PBC,∴DEPB, DEPCBCPCCDEPB又∵EFPB,∴PB平面DEF, DEEFE又∵PB平面PBC,∴平面DEF平面PBC. (2)∵DP平面ABCD,∴BP与平面ABCD所成角为PBD, ∴tanPBDDP5, BD5第 13 页 共 18 页 假设ADa,∴BD4a2,∴DP25,∴a4, 2BD54a以D为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, A4,0,0,B4,2,0,D0,0,0,C0,2,0,P0,0,2,E0,1,1, 由(1)可知PB平面DEF,∴BP为平面DEF的法向量, 又∵PD平面ABCD,∴PD为平面ABCD的法向量, ∵PD0,0,2,BP4,2,2, ∴cosPD,BPPDBPDPBP0402222426. 622226. 6∴平面DEF与平面ABCD所成角的余弦值为 【点睛】 本题考查线面垂直、面面垂直的证明,空间向量法求二面角的余弦值,属于中档题. x2y221.在椭圆C:221ab0中,点A,F分别为椭圆的左顶点和右焦点,ab若已知离心率e1,且A在直线xy20上. 2 (1)求椭圆C的方程; (2)过点F的直线与椭圆C交于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x4于点第 14 页 共 18 页 M,N,求证:以MN为直径的圆经过定点F. x2y2【答案】(1)1 (2)证明见解析 43【解析】(1)根据A点坐标、离心率和椭圆a,b,c关系可求得a,b,c,进而得到椭圆方程; (2)设PQ:xmy1,与椭圆方程联立得到韦达定理的形式;分别利用y1,y2表示出M,N的坐标,从而得到FM,FN;根据平面向量数量积运算可得FMFN0,得到FMFN,从而证得结论. 【详解】 (1)椭圆C的左顶点A在直线xy20上且A位于x轴上,A2,0,a2. ec1,c1,b2a2c23, a2x2y2椭圆C的方程为:1. 43(2)由(1)知:F1,0, 设Px1,y1,Qx2,y2, ∵PQ过点F,可设PQ的直线方程为:xmy1, xmy122联立方程x2y2得:3m4y6my90, 134y1y26m9yy. ,123m243m24y1x2, x12设直线AP的方程为y6y16y16y2M4,,同理可得:N4,, ,即M4,my3my3x21216y26y1FN3,FM3,,, my23my13从而第 15 页 共 18 页 FMFN936y1y236y1y292my1y23my1y29my13my23923m49990. 96m2m23m293m43m436FMFN,即点F在以MN为直径的圆上. 【点睛】 本题考查直线与椭圆综合应用问题,涉及到椭圆方程的求解、定点定值问题的求解;本题证明的关键是能够根据圆的性质将问题转化为证明两向量垂直的问题,进而根据平面向量数量积求得结果. 22.若函数fxalnx1(1)讨论fx的单调性; (2)若fx0在1,上恒成立,求实数a的取值范围; 121xax1. 221111n1. ln2ln3ln4lnnn1【答案】(1)答案不唯一,见解析 (2)a (3)证明见解析 2(3)求证:对任意的正整数n都有,【解析】(1)求出导数,令fx0即xx1a0,分类讨论不等式的解集确定导数的符号从而确定函数的单调性;(2)由题意知f0a110则a,由22(1)确定函数单调性从而求出函数fx在1,上的最小值,根据不等式恒成立的条件即可求出a的范围;(3)取a12由(2)可推出lnx1xx成立,取2111111,取x3,得,…,ln22ln323xx1得lnxx2x,取x2时,得取xn,得111,累加即得所需证明的不等式. lnnn1n【详解】 (1)∵fxalnx1121xax1, 22x21axxx1aa∴fx, xax1x1x1第 16 页 共 18 页 令fx0即xx1a0,方程xx1a0的根为0,a1, ①当a10即a1时,fx在(1,0),(0,)上单调递增; ②当a10即a1时,fx在1,0和a1,上单调递增,在0,a1上单调递减; ③当1a10即0a1时,fx在1,a1和0,上单调递增,在a1,0上单调递减; ④当a11即a0时,fxx,fx在1,0上单调递减,在0,上单调递增; ⑤当a11即a0时,fx在1,0上单调递减,在0,上单调递增; 综上所述:当a0时,函数fx在1,0上单调递减,在0,上单调递增; 当0a1时,fx在1,a1和0,上单调递增,在a1,0上单调递减; 当a1时,fx在(1,0),(0,)上单调递增; 当a1时,fx在1,0和a1,上单调递增,在0,a1上单调递减; (2)∵fx0在1,上恒成立,∴f0a110,∴a, 22由(1)知,当a0时,函数fx在1,0上单调递减,在0,上单调递增; ∴fminxf0a(3)取a110,∴a; 22112112,∴fxlnx1xx0lnx1xx, 2222取xx1,可得lnxx2x, 11111当x1时,∵lnx0,xx0,∴, lnxx2xxx1x1x2取x2时,得111; ln22取x3,得… 取x111; ln323n,得111; lnnn1n第 17 页 共 18 页 将这n个式子相加,得【点睛】 1111n1. ln2ln3ln4lnnn本题考查利用导数研究函数的性质,利用导数证明不等式恒成立,裂项相消法,属于难题. 第 18 页 共 18 页 本文来源:https://www.dywdw.cn/a32ff9266f85ec3a87c24028915f804d2b16871b.html