2021中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解

2022-03-21 08:57:18 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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2021中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令

营)试题及解

2021中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答 2021中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天

福州 1月12日上午8∶00～12∶30 每题21分

一、实数a1,a2, ,an满足a1 a2 an max(a) 1 k n 2k 0 2 ，求证： n3 n 1 i 1

ai ai 1 ．

证明只需对任意1 k n，证明不等式成立即可．记dk ak ak 1,k 1,2, ,n 1，则 ak ak ，

1 / 2

ak 1 ak dk，ak 2 ak dk dk 1, ,an ak dk dk 1 dn 1， ak 1 ak dk 1,ak 2 ak dk 1 dk 2, ,a1 ak dk 1 dk 2 d1，把上面这n个等式相加，并利用a1 a2 an 0可得

nak (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 0．由Cauchy 不等式可得

(nak) (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 2 2

k 12 i i 1 n k i 1

n 12 i di i 1 2

n 12 n 12 n(n 1)(2n 1) n 12

i di di 6 i 1 i 1 i 1 n n 12 di 3 i 1 3 ， n3 n 1

所以 a 2k i 1 ai a i1 2 ．

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