平面几何(基本方法6)

2022-07-10 10:16:19 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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平面几何,基本,方法

高中数学培优讲座

第四讲：平面几何证明基本方法——代数法（参量、三角、坐标、向量）

（一）参量法、三角法

对于某些平面几何问题，倘若能将其看做代数问题的实际应用或转化为代数问题来处理，则既不失几何证明或求解的优美，又能为我们提供了更为灵活、广阔的求解途径。通过代数概念，应用代数知识，借助参数、三角、坐标、向量等代数工具，将几何问题转化为代数运算，从而解决平面几何问题，这种方法称之为代数法.

1.1参量法、三角法：剖析众多的数学间题，尤其是综合性较强的数学题，常因条件

之间的关联比较隐蔽、松散而表现得错综复杂，这时，我们如能仔细分析比较题设条件之间或条件与结论之间的异同点，以及潜存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中的共性量，将其作为承上启下。左右逢源的参(媒介)量，围绕它来展开变换、推证和运算而最后又消去它，这样常能方便地认清解题途径，恰当而适时地将各条件纳人解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活地获得所需的结论。我们把这种引人量求解数学间题的方法称之为参量法，参量法是一种代数法.

求解平面几何问题的参量法，常引人线段、比值、角度等作为参量。特别应当注意到引入角度参量后，运用三角知识，进行三角运算以及运用正弦定理、余弦定理等来沟通几何与三角的关系而求解平面几何间题的方法又称之为三角法.

（1）线段参量：线段是几何图形的基本元素之一，它对几何图形的位置、形状、大小等，起着十分明显的作用.在解决几何问题时，选取一条或几条线段，用一个或几个字母表示它们，以便于结合代数知识对线段进行必要的运算或由线段表达式的变形来沟通已知与可知，未知与需知以及它们之间的联系.

例题1：已知△ABC的底边BC=2，高AD=1，在BC上任

取一点M，过M作MN// AC，交AB于N，作MP// AB交AC于P，试求M点在何处时，△MNP的面积最大?

（2）线段比参量：

例题2：如图，在四边形ABCD中，△ABD、△BCD、

△ABC的面积比是3:4:1，点M、N分别在AC、CD上，且满足AM:ACCN:CD，若B、M、N三点共线，求证：M、N分别是AC、CD的中点.

（3）角参量：

例题3：如图，设A1、A2是△AB2ABC的BC边上的两点，

若BAA1CAA2，求证：. BA1BA

AC2

CA21CA2

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第四讲：平面几何证明基本方法——代数法（参量、三角、坐标、向量）

（二）坐标法、向量法

1.2坐标法：在求解平面几何间题时，我们把通过建立坐标系，将几何的基本对象（点）

和代数的基本对象(数)联系起来，使平面图形问题转化为有关点的坐标的代数问题来研究求解的方法称之为坐标法.坐标法是16世纪数学领域最重要的成果之一。今天，坐标法的内容更加丰富多彩，它提供了把几何量代数化的多种途径，它是数形结合的桥梁.采用坐标法求解平面几何问题，需注意的是：（1）尽可能将平面几何问题化为简单的代数问题。为此，需要选择恰当的坐标系，采用便于推导的方程形式，结合并利用几何知识，注意各表达式的几何意义等；（2）要善于运用各种代数技巧，还要注意式的对称性、轮换性，选用合适的坐标系，巧妙地消元，并有条不紊地推演计算. （1）证明角相等：

例题1：如图，给定任一锐角△ABC及高AH，在AH上任取一点D，连BD并延长

交AC于E，连CD且延长交AB于F，求证：∠AHE=∠AHF.

（2）证明三点共线（平行）：.

例题2：设H为锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点

分别为P、Q，求证：P、H、Q三点共线.

（3）证明线段相等：

例题3：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，过AC、BD的交点O任作两条直线，分别交AD于E，交BC于F，交AB于G，交CD于H，GF、EH分别交BD于I、J，求证：IO=OJ.

1.3向量法：我们把运用向量研究、求解有关数学问题的方法称之为向量法，向量法的特

点是形数结合，运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起甲因而平面几何问题如用向量法来研究与求解，往往显得明快、简洁和容易人手，它克服了几何综合论证中常常需要添置若干辅助线而显得不易捉摸的缺点，同时又因为向量公式不依赖于坐标系，故向量法较之坐标法也具有一定的优越性. （1）证明线段问题：

例题1：设△ABC的三条中线交于点O，求证：AB2BC2CA23(OA2OB2OC2).

（2）证明垂直问题：

例题2：如图，设O是等腰三角形△ABC的外心，D是AB的中

点，E是△ACD的重心，且AB=AC，求证：OE⊥CD.

（3）证明角度问题：

例题3：如图，在△ABC中，AB>AC，BE、CF分别为AC、AB

边上的中线，且BE、CF交于点O。求：∠OBC>∠OCB.

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