初中数学思想之“整体代入”

2022-10-08 13:47:51 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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初中数学思想之“整体代入”

学习目标：1.通过学习掌握数学解决问题的基本方式之一，整体代入法；2. 让学生掌握将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知

条件和所求综合考虑后代入的方法

考点分析：整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、

几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用

学习重点:整体代入、整体设元、整体展开、整体补形、整体改造等等。在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解答及证明等方面都有广泛的应用。

学习方法:讲练结合

1

1、（2019九年级施甸县统测）、如果如果a--（1a0），那么a2a

a

2、(2019云南模拟)、已知关于x，y的二元一次方程组

2xy3m-1

的解满足1≤x-y≤5，

x2ym

则m的取值范围是（）

A. 1≤m≤3 B. 1≤m≤2 C. 1≤m≤4 D. 2≤m≤3 3．（2018云南）已知x+=6，则x+

2

=（）

A．38 B．36

C．34 D．32

有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。一、直接代入

例1、如果ab5，那么（a+b）2－4（a+b）= ．

解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a、b的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（ab），只要把式中的ab的值代入到要求的式子中，即可得出结果5．

（a+b）2－4（a+b）=52－4×5=5。

练习：1. 当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是

文中解析可根据学生

情况进行删减，不要盲目保留

2.已知 3x=a, 3y=b, 那么3x+y= ________ 二、转化已知式后再代入

1

例2、已知a2－a－4=0，求a2－2(a2－a+3)－(a2－a－4)－a的值.

2

解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a2－a，可以将a2－a－4=0转化为a2－a=4，再把a2－a的值直接代入所求式即可。

1

a2－2(a2－a+3)－(a2－a－4)－a

2

1

=a2－a－2(a2－a+3)－(a2－a－4)

2

=(a2－a)－2(a2－a)－6－

3

=－(a2－a)－4.

2

12

(a－a)+2 2

3

所以当a－a=4时，原式=－×4－4=－10.

2

2

三、转化所求式后再代入

例3、若x23x6，则6x2x2 ．

解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍．我们可作简单的变形：由x23x6，可得3xx26，两边再乘以2，即得6x2x2－12．例4、2x23x7的值为8，则4x26x9 ．

解析：将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由

4x26x9得2(x23x7)232×8－23=－7。

本题也可将已知式进行转化，由2x23x7的值为8，得2x23x1，两边再乘以2，得4x26x2，于是4x26x9－7。习题练习：

1.已知x2xy，则方程x2x2x2x10可变形为( )

2

A．y22y10 B．y22y10

C．y22y10 D．y22y10

22

2.已知a2a30，求代数式3a6a1的值．

3.若3a2a20，则52a6a2________(江苏2009中考数学试题)

四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子

例5、已知x2－x－1＝0，试求代数式－x3+2x+2008的值.

解析：考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x2＝x+1，这样由乘法的分配律可将x3写成x2x＝x(x+1)＝x2+x，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.

因为x2－x－1＝0，所以x2＝x+1，所以－x3+2x+2008＝－x2x+2x+2008 ＝－x(x+1)+2x+2008 ＝－x2－x+2x+2008 ＝－x2+x+2008 ＝－(x2－x－1)+2007 ＝2007.

练习：1.当x=1时，ax3bx4的值为0，求当x= －1 时，ax3bx4的值． 2.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．

例6、(08烟台)已知xx1x2y3，求x22xyy2的值（提示：已知存在xyx22xyy2恒成立）

2

课内练习与训练

一、填空题

1、已知代数式3x24x6的值为9，则x2

4

x6的值为 3

13

2、若3a2b9，则代数式ba2的值是

24

3、当x3时，代数式ax3bx7的值为5，则当x3时，代数式ax3bx7的值为

4、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米。

5、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需元。

x2(ax5bx3cx)

2，当x1时，值为3，则6、已知代数式42

xdx

当x1时，代数式的值为

2

123456789123456788123456790_____________7、

222222

10099989721_____________8、

242n

212121…2+1= 9、

二、计算 1111111111111111(…+)(1…+)(1…+)(…+)2342008234200723420082342007

2、已知xx1x2y5，求x22xyy2的值

四、综合题

1、已知x(x1)(x2y)3，求x2y22xy的值。

x020,b0270x020,c0280x02002、已知a20，求多项式

a2b2c2abbcac的值。

3、已知(x2005)(x2001)7，求(x2005)2(x2001)2的值。

22

y6且xy4，4、已知、x恒成立） xyx2xyy（已知

2

（1）求：x2y2

（2）求： x4y4

5、已知(xy)2

6257

,xy,求xy的值。 366

备注：请根据学生情况

来决定此题的去留，本题仅适合接收能力较好的图像

备注：由于本题也需要用到完全平方公式，可根据学生对例题的接收程度，适当保留

6、当x=1时，代数式ax3bx7的值为4，则当x=－l时，代数式ax3bx7的值为

11111

1111-17、计算2222223419992000的值。已知有

x2y2xyxy恒成立

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