三角形“四心”定义与性质

2023-12-17 22:42:29 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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三角形“四心”定义与性质

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB. 3.A

111

BOC,BAOC,CAOB。 222

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝

1

三角形的周长内切圆的半径． 2

3.AEAF,BFBD,CDCE；

AEBFCD三角形的周长的一半。

4.BIC90



111

A,CIA90B，AIB90C。 222

三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

1

性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。 2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般

用字母

G表示。

性质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即xG

xAxBxCyyByC

. ,yGA

33

4.向量性质：（1）GAGBGC0；（2）PG

11

(PAPBPC)，5.SBGCSCGASAGBSABC。

33

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足

OABCOBCAOCAB，

则点O为ABC的垂心。

结论3：若点G满足GAGBGC0，则点G为ABC的重心。结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足

222222

2

本文来源：https://www.dywdw.cn/aafa99de87868762caaedd3383c4bb4cf7ecb78b.html