江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编：应用题

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江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编：

应用题

1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，PABQBA120，且AB，PQ在点O的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.设OAB,(0,设计方案是否均能符合要求？

o



3

).问：对于任意，上述

2、（南京市2019届高三第三次模拟）如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)

3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））如图，矩形ABCD是某生态农庄的一

块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米。

（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围。

4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））

如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为23m和 4m，上部是圆心为O的劣弧CD，COD=．

3

（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；

（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，

如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用的函数表示h，并求出h的最大值．

5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH (0π)．

4

（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为

何值时，总造价最低？

6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪

风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到

AEF处，点A落在牛皮纸上，沿AE，AF裁剪并展开，得到风筝面AEAF，如图1．

（1）若点E恰好与点B重合，且点A在BD上，如图2，求风筝面ABAF的面积；（2）当风筝面AEAF的面积为3m2时，求点A到AB距离的最大值．

7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已

知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；

（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．

9、（盐城市2019届高三第三次模拟）如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草毒，其中AB= 99m, AD= 49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的室地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元

（1）当n= 20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积; (本小题结果保留π) （2）试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低? (本小题计算中π取3.14)

10、（江苏省2019年百校大联考）如图所示，有一块镀锌铁皮材料ABCD，其边界AB，AD是两条线段，AB4米，AD3米，且ADAB．边界CB是以AD为对称轴的一条抛物线的一部分；边界CD是以点E为圆心，EC2米为半径的一段圆弧，其中点E在线段AD上，且现在要从这块镀锌铁皮材料ABCD中裁剪出一个矩形PQAM（其中点P在边界BCDCEAD．

上，点M在线段AD上，点Q在线段AB上），并将该矩形PQAM作为一个以PQ为母线的圆柱的侧面，记该圆柱的体积为V（单位：立方米）．

（1）若点P在边界BC上，求圆柱体积V的最大值；（2）如何裁剪可使圆柱的体积V最大？并求出该最大值．

参考答案 1、

2、解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．

过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点M，N，设l的方程为y＝kx，即kx－y＝0， |45k－15|

则点Q到l的距离为＝15，

k2＋13

解得k＝，或k＝0（舍）．

4

3

所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0．

4…………………………………………4分

B

Q P

A

（第17题图）

x

M

y

H

C N

点C(160，75)到l的距离

|3×160－4×75|CH＝＝36． ······································································· 6分

32＋(－4)2

361

因为在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝． ··············· 8分

722π2ππ

又因为∠MCH∈(0，)，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝， ········· 12分

3322π

3

所以所用时长为30×＝10min． ··························································· 13分

2π答：该游客能看到点B的时长为10min． ···················································· 14分 3、

4、【解】（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的

长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，O2OC



，CO23， 3

D

PO2OA

O1

C

所以OO21，圆的半径ROC2．所以O1P=ROO1RO1O2OO25．

答：拱门最高点到地面的距离为5m． …………………4分

B

（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．

当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，OBOO12O1B223．

以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．

（2.1）当点P在劣弧CD上时，

y

D

ππ

≤． 62

O

A

C

Bθ

x

由OBx

π

，OB23， 6

由三角函数定义，

ππ

得O(23cos()，23sin())，

66

π

则h223sin()． …………………………………………………………8分

6所以当

πππ

即时， 623

h取得最大值223． ……………………………………………………10分



（2.2）当点P在线段AD上时，0≤≤．

6设CBD=，在Rt△BCD中， DBBC2CD227，

y

DO

A

B

21427

sin，cos．

772727

23



θ

C

x

由DBx，得D(27cos()，27sin())．

所以h27sin()4sin23cos．……………………………………14分



时，h4cos23sin4cos23sin30．

666



所以h4sin23cos在[0，]上递增．

6

又当0所以当



时，h取得最大值5． 6

因为2235，所以h的最大值为223．



4sin23cos，0≤≤，6

答：h；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地

π223sin()，≤

662

面距离的最大值为（223）m． ……………………………………………16分

5、【解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM． …………2分在Rt△FHM中，HM 5，FMH，

D

A

H

θ B

M

E

F

C

所以FM

5．……………………………………4分 cos

因此△FBC的面积为110525．

2coscos

从而屋顶面积S2SVFBC2S梯形ABFE2252252.2160．

coscoscos

所以S关于的函数关系式为S160(0π)． ………………………………6分 cos4（2）在Rt△FHM中，FH5tan，所以主体高度为h65tan． ……………8分所以别墅总造价为ySkh16k

160k(65tan)16k

cos

160k80sink96k coscos

80k2sin96k …………………………………………10分

cos



记f()2sin，0π，

cos41，所以f()2sin2

cos

令f()0，得sin1，又0π，所以π．………………………………12分

624列表：

所以当π时，f()有最小值．

6

答：当为π时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分

66、【解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．

3， 0，D0，则B2，

2

 f()

0，π6]

π

6

π ，π64

0 

f()

3

Z

y D

A



C

直线BD的方程为3x4y60．…… 2分 b（b0）设F0，，

F

因为点F到AB与BD的距离相等，

A

B（E） x

所以b

4b6

，解得b2或b6（舍去）． …… 4分

35

所以△ABF的面积为1222m2， 233所以四边形ABAF的面积为4m2．

3

答：风筝面ABAF的面积为4m2． …… 6分

3

方法二：设ABF，则ABA2．在直角△ABD中，tan2AD3，…… 2分

AB4

3，所以2tan2

1tan4

D

A

C

F

B（E）

解得tan1或tan3（舍去）．

3

所以AFABtan2． …… 4分

3

所以△ABF的面积为1222m2，

233所以四边形ABAF的面积为4m2．

3

A

答：风筝面ABAF的面积为4m2． …… 6分

3

（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． y0，设AEa，AFb，Ax0，

y D

A

C

则直线EF的方程为bxayab0，因为点A，A关于直线EF对称，

y0a

，x0b

所以

bx0ay0ab0，22

F

A E B x

2

2a解得y02b2． …… 10分 ab

因为四边形AEAF的面积为3，所以ab3，

3

所以y0243a23．

a3a3

a3

因为0a≤2，0b≤3，所以23≤a≤2． …… 12分

23

设f(a)a33，23≤a≤2．

3a(a23)(a3)(a3)9 f(a)14，

aa4

令f(a)0，得a3或a3（舍去）．列表如下：

f(a) f(a) a

23，3

3

 单调递减

3



3，2 +

0 极小值

单调递增

当a3时，f(a)取得极小值，即最小值43，

3

所以y0的最大值为3，此时点A在CD上，a3，b1．

2

答：点A到AB距离的最大值为3m． …… 16分

2

方法二：设AEa，AEF，则AFatan．因为四边形AEAF的面积为3，所以AEAF3，

F

即a2tan3，所以tan3．

a2过点A作AB的垂线AT，垂足为T，

A

T

E

B

D

A

C

则ATAEsin2AEsin2asin2 …… 10分 23

cosa2tanaa223． a2sin

31a3sin2cos2tan21

a4a3

因为0AE≤2，0AF≤3，所以23≤a≤2． …… 12分

23（下同方法一）

7、

8、（1）以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分则A(20,0)，B(20,0)，P(0,40)， …………………………………………………2分

∵曲线段APB为抛物线的一段弧，

∴可以设抛物线的解析式为ya(x20)(x20)，将点P(0,40)代入得：40400a，解得a ∴抛物线的解析式为y

1

， ………………………………4分 10

1

(400x2)， …………………………………………5分 101

∵点C在抛物线上，∴n(400m2)，0m0． ………………………6分

10

（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，

则S

11

(2m40)(400m2)， ………………………………………………8分 210

1

(m320m2400m8000)， ………………………………………………9分 10

11

∵S(3m240m400)(3m20)(m20)， ………………………10分

1010

20

令S0，得m， …………………………………………………………11分

3

202020

m m(0,) m m(,20)

333

S S0 S0 S0

增极大值减 S

S

…………………………………………………13分

2025600

时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米． …………14分 327

9、解：（1）设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.

∴当m

当n20时，共有19个空地，所以r分

所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为

99191

2m， ……………………2

220

Sr2rAD22249.5103(m2).

即

蒙

一

个

大

棚

所

需

塑

料

薄

膜

的

面

积

为

103m2. ……………………6分（2）设两项费用的和为f(n).

99(n1)1100n

因为r，所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为 

2n2n

100n2100n

， ……………………8Sr2rAD()49.5

2n2n

分

则f(n)10nS31.4149.5(n1)

100n2100n

10n(()49.5)31.4149.5(n1)

2n2n(100n)2100n

31.4(49.549.5(n1))

4n2

31.4(100n)2(99(100n)198(n1))

4n31.4100231.4100(100n9502)[100(n)9502]. …………………

4n4n

…12分

所以，当且仅当

100

n，即n10时，f(n)取得最小值. n

答：当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低. ……………………14分10、

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