大学生数学竞赛试题(专业组)

2022-03-22 08:19:11 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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大学生数学竞赛试题(数学专业组)

x2y2z2

1.求平面AxByCz10与椭球2221之间的最短距离（令h

abc

，试用代数式表示并讨论平面在椭球外面的条件。（10分） ma2A2b2B2c2C2）2.利用定积分求极限

1ABC

2

2

2

，

n

.（10分） lim22

nknk1

n

3.证明：若函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内存在二阶导数，且f(a)f(b)0，f(c)0,其中（10分） acb，则在(a,b)内至少存在一点，使f()0。

4.证明：函数

ne

n1



nx

在(0,)内连续. （10分）

5.求积分(1)



3

1

11dx; (2)dx.（10分）

1ex1e3x(x1)(x3)

6.设L(x,y,z)为从原点到球面xyzR上的点P(x,y,z)的切平面的距离，求积分

2222

xyzR，其中为球面.（10分） L(x,y,z)dS

2222



7.证明下列命题：

(1). 如果多项式f(x),g(x)不全为零，证明：

f(x)g(x)

与互素。

(f(x),g(x))(f(x),g(x))

k1k

(2). 证明：x0是f(x)的k重根的充分必要条件是f(x0)f(x0)Lf(x0)0而f(x0)0.

（10分）

8.设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为aibj

（1）.求A;

(2).当n2时，a1a2,b1b2.求齐次线性方程组AX0的解空间的维数和一个基。（10分） 9.设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明： AIrank(IA)rank(IAA)n.（10分）

3

2

11a1



10.设矩阵 A1a1,1，已知线性方程组AX有解但不唯一，试求：(1)a的值；(2)

a112

正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵，其中Q表示Q的转置（求Q和QAQ）. （10分）

T

T

T

精选

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