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第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。 1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt△ABC中，设∠C=90°，∠C、∠A、∠B 所对的边分别为c、a、b，则c、a、b满足关系a²+b²=c²。 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC中，∠B=90°，则a²+b²=c²。 2、勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。验证如下： 现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。 证法1：∵S大正方形＝4S三角形＋S小正方形 ∴c²＝4×2ab＋(b−a)² ∴c²＝a²＋b² 证法2：∵S梯形＝2S小三角形＋S大三角形 ∴2 a+b 2=2×2ab+2c² ∴a²+b²=c² 证法3：∵S大正方形＝4S三角形＋S小正方形 ∴ a+b 2=4×2ab+c² ∴a²+b²=c² 3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有： (1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题； (2)证明三角形中的某些线段的平方关系； 11111ａ ｃ ｃ ｂ ａ ｂ (3)作长为无理数的线段. 注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式a²=c²−b²= c+b (c−b)或b²=c²−a²= c+a (c−a)；若求斜边，则利用c²=a²+b²；若不能确定则分以上两种情况讨论。 4、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤： (1)确定最大边； (2)算出最大边的平方，另两边的平方和； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。 5、勾股数： 满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。 探索神秘的勾股数组：若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc(k为正整数)也是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：｛3k，4k，5k｝、｛5k，12k，13k｝、｛8k，15k，17k｝、｛7k，24k，25k｝、｛9k，40k，41k｝等．以下几个公式都可以产生勾股数： ①设n为正整数，且n＞1，令a=2n，b=n²−1，c=n²+1，则有a²+b²=c²； ②设n为正整数，令a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1，则有a²+b²=c²； ③设m、n为正整数，且m＞n，令a=m²−n²，b=2mn，c=m²+n²，则有a²+b²=c²； ④设m、n、k为正整数，且m＞n，令a=k m2−n2 ，b=2kmn，c=k(m²+n²)，则有a²+b²=c²． 6、互逆命题： 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题互为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 7、互逆定理： 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 注意：每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理. 本文来源：https://www.dywdw.cn/ae187609bfd126fff705cc1755270722192e5993.html
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2022-04-23
