第一届“华罗庚”杯高一数学竞赛试题

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同煤一中第一届“华罗庚”杯数学竞赛试题

高一数学

2018年4月25日

注意：考试时间2小时，满分120分。请在答题卡上答题

一、填空题（本题包括8小题，每小题8分，共64分）

1．已知函数f(x)124

x

，则f(12017)f(22017)...f(2016

2017)=____________.

2.cos(1x25x7x25x6)_____________

3.从集合M={1，2，3，4，5，...,2017}中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为__________.

4.对于函数f(x)x1

x1，设f1(x)f(x)，f2(x)f[f1(x)]…..fn1(x)f[fn(x)]

(nN,n2)令集合Mx|f2016(x)x2则集合M为____________

5．sin20ocos225osin20osin225ocos250osin220o_______

6.集合A={x|x=[5k

6

],k∈Z,100≤k≤999},其中[x]表示不大于x的最大整数，

则集合A的元素个数为_________.

7.某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有_________.

8.函数f(x)ax2bxc的图象关于直线x

b

2a

对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf(x)2

nf(x)p0的解集可以是_______(请将你认为正确的序号填到横线上）

①1,2 ② 1,4 ③ 1,2,3,4 ④1,4,16,64

二、解答题（本大题三个小题，共56分）

9.（16分）已知函数f(x)xk2

k2

kZ，若1x1x2有fx1fx2

（1）求k的值；

（2）试判断是否存在正数p，使函数g(x)1pf(x)2p1x在区间1,2上

的值域为17



4,

8

.若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由.

10.（20分）已知a,b,c为非零实数，f(x)

axb

cxd

,xR，且f(19)19,f(97)97。若当xd

c

时，对于任意实数x，均有f(f(x))x，试求出f(x)值域以外的唯一数。

11.（20分）f(x)定义在实数集R上，且对于一切实数x满足等式：

f(2x)f(2x)和f(7x)f(7x)，设x0是f(x)0的一个根，记f(x)0在区间[1000,1000]中的根个数为N，求N的最小值。

一、填空题（8小题，每小题8分，共64分）

1. 504 2. 1 3.1076 4.Ø 5.34

6. 750 7.4 8.

二、解答题（本大题三个小题，共56分）

9.(1)由条件k2k201k2，又kz，所以k0或k1 (2)g(x)px2(2p1)x1 由条件知：g(1)3p2[4,17

8

]0p2 对称轴：x1

13

2p4

，当112p10p1

4

时，g(x)在[1,2]单调递减，g(2)14不满足条件； 14p2，g(x)4p2117max4p8

p2，此时g(1)4满足条件，综上：p2时满足条件；

a

axb

10.解：当xd

b

c时，有f(f(x))x，则cxcaxdbx，化简得

cxd

d(ad)cx2(d2a2)xb(ad)0，由于该方程对xd

c

恒成立，故

ad0,d2a20,则da。

又f(19)19,f(97)97，即19，97是方程

axb

cxdx的两根，即19，97是方程 cx2(da)xb0的两根，由韦达定理得adb

c116,c1843,结合da

得a58c,b1843c,d58c，从而f(x)8x18431521

x5858

x58

故f(x)取不到58这个数，即58是f(x)的值域外的唯一数。

11.

由f(2x)f(2x)f(7x)f(7x)f(x)f(4x)

f(x)f(14x)f(4x)f(14x)

f(x)f(x10)

所以f(0)f（4）

f(10）0 故f(x)在[0,10）有两个解,从而可知函数yf(x)在[0,1000）上有200个解,在

[-1000，0)上有200个解又f(1000)f(0)0

所以函数yf(x)在[-1000,1000]至少有401个解。

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