【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《(新)高中数学竞赛-平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理》，欢迎阅读！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 梅涅劳斯定理： 定理1：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则 BPCQAR1PCQARB证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则： BPCQARhBhChA1PCQARBhChAhB注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件； 例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点， 证明：BF//CE。证：在EBC中，作B的平分线BH则：EBCACKHBCACE,HBCHCBACEHCB90即：BHCEEBC为等腰三角形作BC上的高EP，则：CKEPCDAEKF对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有：1 DAEKFCKFEKCKEPBPBKKFBK于是＝即：＝FCAEACACBCBEFCBEKFBK依分比定理有：＝FKBCKEBF//CEKCKE定理2：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPCQAR1，PCQARB求证：P、Q、R三点共线； 证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：BPCQAR''1又PCQARBBPCQARAR'AR1，则：'＝PCQARBRBRB由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设ARAR',ARAR'ARAR'''这时ABARABAR,即BRBR,于是可得这与＝'矛盾'BRBRBRBR''类似地可证得当R与R同在AB的延长线上时，R与R也重合综上可得：P、Q、R三点共线； 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 1 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 例2.点P位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线； BABPcosPBC证：易得：1,CA1CPcosPCBCB1CPcosPCA,AB1APcosPAC将上面三条式子相乘，且AC1APcosPABBC1PBcosPBAC1B A A1 C B1PACPBC,PABPCB,PCAPBA180BACBAC1可得11＝1，依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；CA1AB1BC1【练习】从点1K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、DADACADAC和A1、B1、C1、D1，试证：:11:11BCBDB1C1B1D1【练习2】设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上；【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直【练习4】在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线 线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；练习1的证明证：若AD//A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分别用于A1AL和B1BL可得：ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K111LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D11BDB1KLD1ADBCA1C1B1D1将上面四条式子相乘可得：1ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1即：::BCBDB1C1B1D1 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 2 本文来源：https://www.dywdw.cn/b59edb3af48a6529647d27284b73f242336c31c6.html
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2023-04-09
