初探陷泥潭再探喜更甜(1)

2022-04-19 04:20:07 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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泥潭,初探

初探再探喜更甜

福州华侨中学李文明

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大的变化，要实现数学课程改革的目标，教师是关键。教师首先要转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质”。由此不难看出，在数学新课程改革实施过程中对教师无论是思想理念，还是教育教学方式方法都提出了更高的要求；新课程背景下的数学课堂，老师应以教师的师爱调动学生，以教师的情感感染学生，以教师的语言鼓舞学生，以教师评价激励学生，以教师的人格影响学生，形成很好的课堂气氛，激发学生思维。使学生变被动接收为主动参与，充分发挥学生的个性和潜能，在掌握数学结构基础上提高数学素养。下面仅就一道普通数学试题的讲评为例说明教师如何引领学生积极探究，从中体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

1. 初探陷泥潭题目：福州市2010—2011第一学期期末高二模块测试数学（理科）第22题已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

32

,并且过点（3,

12)。

（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上的动点，过点P作两条直线分别交椭圆于M、N两点，且满

足直线PM与直线PN的斜率之积为

14

。试判断M和N的连线是否过定点？如果过定点，

请求出这个点的坐标并给予证明；如果不过定点，请说明理由。

初次探究：（1）

x

2

4

y

2

1（解法略）

1414

（2）取短轴一个端点为P，长轴两个端点分别为M、N，则可得k1k2斜率为0，取长轴的一个端点为P，短轴的两个端点分别为M、N，则可得k1k2斜率不存在，据此猜测M和N的连线过定点（0，0）

证明如下：(证法一)设动点P（x0,y0) M（x1,y1) N（x2,y2) 直线PM方程为yy0k1(xx0) 联立



yy0k1(xx0)

x4y

2

2

，直线MN的，直线MN的

4

2

消去y得x4[k1x(y0k1x0)]4

2

2

2

22

整理得：(14k1)x8(y0k1x0)k1x4k1x08k1x0y04y040 由x1x0

8k1x08k1y0

14k1

2

2

2

2

得x1

4k1x0x08k1y0

14k114

2

2

2

同理可得x2

4k2x0x08k2y0

14k

22

，再由k1k2，得x2

x04k1x08k1y0

14k

21

x1

又由yy0k1(xx0) 得y1

2k2x04k2y0y0

14k

222

2k1x04k1x0y0

14k

21

2

同理y2y1 所以，M、N连线过定点（0,0）

当老师把这样的“答案”一抛出，学生惊讶不已，个个不由自主的发出哀叹！太难了！老师你太厉害了，这么复杂的计算你都能想得到，算得出来。（我沉默不语，其实这是标准答案）因为这么多的角标，这么繁杂冗长的计算别说学生感到为难，教师何尝不是如此啊，另外当计算出x1后如何控制解题方向呢？是计算y1，得到M点坐标，然后再同理求出N点坐标，再求出直线MN的方程,再看它是否过定点呢，还是上述解法这样呢？的确是迷雾重重，使学生深陷泥潭而不能自拔，学生十分困惑。

于是我又讲述了第二种解法：设动点P（x0,y0) M（x1,y1) 则k1

y1y0x1x0

,依题意k10，由

x141

2

y

21



x04

2

y

20

1得

y1y0xx

21

22

20



14

即

y1y0x1x0



y1y0x1x0



4k1

k2 （*）

所以点（x1,y1)在直线PN上，又因为点（x1,y1)在椭圆上，所以点（x1,y1)是椭圆与直线PN的交点N的坐标，因此M、N的连线过定点（0，0）。

学生仍然不满意，异口同声说，这种解法的确计算简便，但是技巧太强了，我们根本想不到啊！特别是（*）式的得来实在是太奇妙的想法了。两种解法反差很大，使学生的情绪受到了强烈刺激，（这也是标准答案）学生欲进不能，欲罢不肯，把学生推向了两难的境地，想得到算不起，算得起的又想不到，学生对两种解法都不想学，因为学了也不会用，不愤不悱，不悱不发，我们能否在寻求一种符合学生思维水平和知识水平的方法，而不是把教师的想法强加于学生呢？（这也是数学教师爱护学生的特有的表现）

2. 再探喜更甜

我把学生的注意力再次引导到问题的起点，问学生我们猜想直线MN过的定点是原点，而过原点的直线方程形式如何呀，我们用特殊位置法，发现了直线所过的点，还是要在这里寻找突破口；探究出证法三：

当直线MN斜率不存在时点P就是长轴的两端点，

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：ykx 交椭圆于M（x1,y1) N（x2,y2) 直线PM与直线PN的交点为P（x0,y0) 联立



2

ykx

2

x4y

4

消去y，整理得 (14k)x40

22

所以

x1x2 x1x2

414k

2

因此y1y20 y1y2

14

4k

22

14k

由kPMkPN

2

y0y1x0x1



y0y2x0x2



y0(y1y2)y1y2x(x1x2)x1x2

20

2

=

得

x04

y01，因此无论直线MN绕原点如何转动，直线PM与PN的交点都在椭圆上，

2

所以M、N的连线必过定点（0，0）。

上述证法好就好在不仅计算简便，思路清新，不偏不怪，符合学生心理特征，易于接受，而且还更多的保留了已知数据在解决问题时的作用。学生的脸上终于有了一丝喜悦，这时教师就要趁热打铁，再引领学生继续探究，我让学生观察已知条件中的数据k1k2

x

2

2

14

有何特点，它与椭圆方程

14

4

y1有联系吗？你能猜想如果是任意椭圆

xa

22



yb

22

1，条件中的会变为什么吗？于

是猜想出下面定理，并让学生自己证明。

定理1设P为椭圆

ba

22

xa

22



yb

22

1上的动点，过点P作两条直线分别交椭圆于M、N两点。若

kPMkPN

，则直线MN必过原点。学生很快就完成了证明，学生有了一种满足感，品尝到

了“探究”的甜头，我又继续引导，观察

ba

22

，若ab，定理1会有何变化呢？椭圆变成圆，

22

这不正是初中学过的“直径所对的圆周角是直角”定理的解析表述吗，而且它是可以推广的；

ba

22

与椭圆的离心率有关吗，通过思考计算

ba

22

e1，于是又猜想出曲线变为双曲线后的结论。

2

定理2设P为双曲线

ba

22

xa

22



yb

22

1上的动点，过点P作两条直线分别交双曲线于M、N两点。

若kPMkPN

，则直线MN必过原点。由此可得这是有心圆锥曲线的共性。

通过数学探究，使学生体验到了数学结论的研究和发现过程，激发了学生的学习兴趣，培养了创新精神，真正做到使学生在掌握数学结构基础上提高数学素养。深入探究有喜更有甜。

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