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初中数学常用的概念、公式和定理 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小和无限环循小数)都是有理数.如:－3,,0.231,0.737373…,,-.无限不环循小数叫做无理数..如:π,－,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 1. 绝对值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=－a. 如:丨－丨=;丨3.14－π丨=π－3.14. 3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知=0.4858,则=48.58;已知=1.558,则=0.1588. 6.整式的乘除法: ①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. ③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. ④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. 7.幂的运算性质: ①am×an=am+n. ②am÷an=am－n. ③(am)n=amn. ④(ab)n=anbn. ⑤()n=n. ⑥a－n=n,特别:()－n=()n. ⑦a0=1(a≠0). 如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－,5－2==,()－2=()2=,(－3.14)0=1,(－)0=1. 8.乘法公式(反过来就是因式分解的公式): ①(a+b)(a－b)=a2－b2. ②(a±b)2=a2±2ab+b2. ③(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3. ④(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3; a2+b2=(a+b)2－2ab, (a－b)2=(a+b)2－4ab. 9.选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三项以上用分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 10.分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法应先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:结果要化为最简分式. 11.二次根式: ①()2=a(a≥0),②=丨a丨,③=×,④-=(a>0,b≥0). 如:①(3)2=45.②=6.③a<0时,=－a.④的平方根=4的平方根=±2. 12.一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0:①求根公式是x=-,其中=b2－4ac叫做根的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.注意:当Δ≥0时,方程有实数根.③若方程有两个实数根x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x－x1)(x－x2).④以a和b为根的一元二次方程是x2－(a+b)x+ab=0. 13.解分式方程(去分母或换元)和无理方程(两边平方或换元)必须检验.形如:的方程组,用代入法解;形如:的方程组,先把一个方程分解为两个一次方程,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,再用代入法分别解这两个方程组. 14.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向. 15.平面直角坐标系: ①各限象内点的坐标如图所示. ②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴(y轴)上的点,横坐标是0. ③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数); 关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数); 关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数. 16.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点. 17.反比例函数y=(k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k<0时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反. 18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标).①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是(－,),对称轴是直线x=－. 特别:抛物线y=a(x－h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h. 注意:求解析式的设法 ①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶-点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(x－h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(x－x1)(x－x2). 19.抛物线与x轴的位置关系: 对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点(与x轴相切).③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根. 20.统计初步: (1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (2)公式:设有n个数x1,x2,…,xn,那么: ①平均数=(x1+x2+…+xn).②方差S2=[(x21－)+(x2－-)2+…+(x2n－).(是整数时用) ③S2=[(x2221+x2+…+xn)－n()2].注:各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式. ④若将n个数x1,x2,…,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x,,,1,x2,…,xn,那么原来那组数的方差S2=这组新数的方差,平均数=a+,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样-本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差 (3)频率:①把一组数分成若干个小组,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总 个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1. 21.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任一锐角,则∠A的正弦:-sinA=,∠A的余弦:cosA=,∠A的正切:tanA=,∠A的余切:cotA=. 并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,-sin2A+cos2A=1.00,ctgA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小. ②余角公式:sin(900－A)=cosA,cos(900－A)=sinA,tg(900－A)=ctgA,ctg(900－A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600=,sin450=cos450=-,sin600=cos300=,sin00= cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=-,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0. ④斜坡的坡度i==.设坡角为α,则i=tgα=. 22.三角形: (1)在一个三角形中:等边对等角,等角对等边. (2).证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL. (3)在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边的一半. (4)证明一个三角形是直角三角形的方法有: ①先证明有一个角等于900. ②先证明最长边的平方等于另两边的平方和. ③先证明一条边的中线等于这条边的一半. (5)三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半. (6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合. 23.四边形: (1)n边形的内角和等于(n－2)1800,外角和等于3600. (2)平行四边形的性质:对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分. (3)证明一个四边形是平行四边形的方法有:①先证两组对边平行.②先证两组对边相等. ③先证一组对边平行且相等.④先证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相等. (4)矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等. (5)证明一个四边形是矩形的方法有:①先证明它有三个角是直角.②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等. (6)证明一个四边形是菱形的方法有:①先证明它的四条边相等.②先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直. (7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质. (8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半. (9)轴对称图形有:线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆. 24.证明两个三角形相似的方法有: ①先证两组对应角相等. ②先证两边对应成比例并且夹角相等. ③先证三边对应成比例. ④先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方. 25.平行切割定理: ①如图1,DE∥BC=. ②如图2,若AB∥CD∥EF则=,=. 26.射影定理:如图3,ΔABC中,若∠ACB=900, CD⊥AB,则:①AC2=AD·AB.②BC2=BD·BA.③AD2=DA·DB. 27.圆的有关性质: (1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的 任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧; ⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具备①,③时,弦不能是直径. (2)两条平行弦所夹的弧相等. (3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等. (4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半. (7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半. (8)同弧或等弧所对的圆周角相等. (9)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. (10).900的圆周角所对的弦是直径. (11)圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角. 28.直线和圆的位置关系: (1)若⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则: ①d直线L和⊙O相交.②d=r
直线L和⊙O相切.③
d>r
直线L和⊙O相离.
(2)切线的判定定理:经过半径外端并且垂直这条半径的直线
是圆的切线.反之:切线垂直过切点的半径.
(3)切线长定理,弦切角定理,相交弦定理及其推论,切割线定理及其推论.
(4)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点. (5)RtΔ的内切圆的半径R内=,任意多边形的内切圆的
半径R内=
.
(6)圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和.
29.圆和圆的位置关系:
(1)设两圆半径为R和r,圆心距为d,则:①d>R+r
两圆外离. ②d=R+r
两圆外切.③R－r≥r)
两圆相
交.④d=R－r
两圆内切.
⑤d－r
两圆内含.
30.圆中常作的辅助线:
(1)两圆相交,常作公共弦,连心线. (2)两圆相切,常作公切线,连心线. (3)已知切线,常过切点作半径. (4)已知直径,常作直径所对的圆周角.
(5)求解有关弦的问题,作弦心距.(6)弧的中点常和圆心连结. 31.各顶点等分圆周正n边形
各边相等,各角相等,
且每个内角=度,中心角=外角=
度.
32.面积公式:
①S正Δ=
×(边长)2
.②S平行四边形=底×高.③S菱形=底×高=×
(对角线的积)
④S圆=πR2
.⑤C圆周长=2πR.⑥弧长L=
-
.⑦S扇形==LR.⑧S圆柱侧=底面周长×高.
⑨S圆锥侧=×底面周长×母线=πrR,并且2πr=(如上图).
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2022-07-09
