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脑洞大开之：有趣的智慧数 公众号：数学加数学加初中秋季培优课，小学奥数课开 始直播啦，公众号回复【秋季培优】 、【小学奥数】可以查看 详细的课程安排哦小编有话说 下面这个题目还是有点 难的，不相信你就跟着数学加编辑一起来看看，最好不要偷 看答案哦，那样就没意思了。不过如果觉得难，看答案也没 关系，因为学会方法比硬抠知道答案更重要。 如果对于大于1的整数z,存在两个正整数x,y，使得z=x2-y2, 那么称这个数 z 叫做智慧数。把所有的智慧数按从小到大排 列,那么第 2017 个智慧数是多少？ 分析与解答答案：2692。设正整数k，有(k + 1)2 - k2 = 2k + 1,即所有的奇数都是智慧数 (1 除外)。还有 (k＋1)2－(k－1)2 =4k，即所有能被4整除的数都是智慧数(4除外)。 另一方面, 假如 4k＋2 是智慧数, 那么必有两个正整数 m 和 n,使得 4k + 2= m2 — n2,即 2(2k + 1) = (m + n)(m — n),由于 m + n和 m — n两数奇偶相同，(m + n)(m — n)要么是奇数，要 么是4的倍数，与4k + 2矛盾，所以4k + 2不是智慧数。 综上, 3 是最小的智慧数,接下来是 5、7、8；9、11、12； 13、 15、16； ... 即把从 1 开始的正整数依次每 4 个分成 1 组,除第一组只有 1 个智慧数 (3)外,其余各组都有 3个智慧数 (2奇数和 1 个 4 的倍数 ），且每组中第二个数不是智慧数。所以，第 2017 个 智慧数是在（2017 - 1）/3 + 1 = 673组的第4个数，即673 X 4 =2692。拓展思维如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差，那么称这个正整数为“神秘数” 。如 12=42-22,所以 12 是神秘数。（1） 神秘数都是 4 的倍数吗？为什么？（ 2） 两个连续奇数的差是神秘数吗？为什么？ 怎么样，这道题够味吧，这可是初中奥数题哦，都说数学是 思维的体操，那么奥数可以被称为是数学的精华，如果你想 培养数学思维能力，培养良好的学习习惯，可以来数学加从 小学奥数学起哦，现在奥数二阶的课程已经开讲啦，快快加 入我们吧！ 本文来源：https://www.dywdw.cn/c9ce9ece935f804d2b160b4e767f5acfa1c783a2.html
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2024-01-12
