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2021年硕士研究生招生考试初试考试大纲 科目代码：601 科目名称：高等代数 适用专业：数学类各专业 考试时间：3小时 考试方式：笔试 总 分：150 分 考试范围： 一、多项式 1．多项式的带余除法及整除性； 2．多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式； 3. 不可约多项式的判定和性质； 4．多项式函数与多项式的根； 5. 复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。 二、行列式 1．行列式的定义及性质； 2. 行列式按一行（列）展开； 3．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。 三、 线性方程组 1．线性方程组的求解和讨论； 2．线性方程组有解的判别定理； 3．线性方程组解的结构及其解空间的讨论。 四、 矩阵 1．矩阵的基本运算、矩阵的分块； 2．矩阵的初等变换、初等矩阵； 3. 矩阵的等价、合同、正交相似； 4．逆矩阵、伴随矩阵及其性质； 5．矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩； 6. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵； 7. 矩阵的特征值与特征向量，对角化矩阵。 五、 二次型 1．二次型及其矩阵表示； 2．实数域和复数域上二次型的标准形与规范形； 3．正定二次型及其讨论。 六、 线性空间 1．线性空间、子空间的定义与性质； 2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组； 3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换； 4. 生成子空间，子空间的交，子空间的和与直和、维数公式。 七、 线性变换 1．线性变换的定义、性质与运算； 2. 线性变换的矩阵表示； 3．线性变换的核、值域的概念； 4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间； 5．线性变换的不变子空间。 八、 欧式空间 1．内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵； 2. 正交子空间与正交补； 3．欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化方法； 4．实对称矩阵的正交相似对角化的求法。 样 题 ： 一、（15分）证明：如果(x2x1)f1(x3)xf2(x3)，那么(x1)f1(x),(x1)f2(x). abca二、（15分）计算n阶行列式：Dnbbbb. ccccabca三、（15分，第1小题5分，第2小题10分） x1x2x3x41已知非齐次线性方程组4x13x25x3x41有3个线性无关解. axx3xbx13412（1）证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)2； （2）求a,b的值及方程组的通解. 四、（15分）设实矩阵AT，为n维行向量，且T1，证明：BEAA2An是可逆矩阵，并求B1. 五、（15分，每小题各5分） 设V是数域P上的一个n维线性空间，1,2,n是V的一组基，用V1表示由n12n生成的线性子空间，令V2kiii1k0,kP. iii1n（1）证明V2是V的子空间；（2）证明VV1V2； （3）设V上的一个线性变换A在基1,2,n下的矩阵A是置换矩阵（即A的每一行每一列都只有一个元素是1，其余元素为0），证明V1与V2是A的不变子空间. 六、（15分，第1小题5分，第2小题10分） 22x32x1x22x1x32bx2x3通过正交变换设二次型f(x1,x2,x3)x12ax2XQY化为标准形f3y12. （1）写出这个二次型的秩，正、负惯性指数及符号差；（2）求参数a,b的值和正交矩阵Q. 七、（15分）设A是正定矩阵，B是实可逆反对陈矩阵，证明AB2是正定矩阵. (x1,x2,x3)(2x2,x1x3,x2). 八、（15分，每小题各5分）在P3中，设线性变换：（1）求在基1(1,0,2)，2(0,1,1)，3(3,1,0)下的矩阵； （2）设(1,2,5)，求()在基1,2,3下的坐标； （3）求的值域与核. 九、（15分）设APnn，证明A24A5E的充要条件是r(A5E)r(AE)n. 1,2,,s与1,2,,t十、（15分）设V1,V2是欧氏空间V的子空间且V1V2，1,2,,s,1,2,,t是线性无关的. 分别是V1与V2中线性无关的向量，证明： 参考书目 北京大学数学系前代数小组. 高等代数. 高等教育出版社，2019年5月. 第5版. 本文来源：https://www.dywdw.cn/ca3318d65beef8c75fbfc77da26925c52dc5914b.html
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2022-04-07
