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概率论的起源：巴斯噶与费尔马的通信 巴斯噶与费尔马(P. de Fermat，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生。巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数x,y,z,xyx0和整数n3，使xynnz) 于近年得n到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封。 这几封信全是讨论具体的赌博问题。与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程。前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间。这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a和b元(a、b为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率。这个问题拿现在的标准看也有相当的难度。由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性。有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础。这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有提炼出并明确陈述概率运算的原则性内容。例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理。但未将其作为一般原则凸现出来。 促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题。1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决。所提问题并不难，但不知何以巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出24一个“双6”的机遇小于1/2（其值为1(35/36)0.4914）。但从另一方面看，投两个骰子只有36种等可能结果，而24占了36的2/3，这似乎有矛盾，如何解释。现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题。 巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧，值得一述。 以r1和r2分别记为取得胜利，A、B尚须赢得的赌局数。巴斯噶认识到，注金的公正分配只应与r1和r2有关。因为若赌博继续下去，A(或B)最终取胜的概率，只与r1和r2有关。记此概率为e(r1,r2)，则有边界条件： 1 e(0,r2)1，当r20； e(r1,0)0，当r10； e(a,a)12， （1） 且成立递推公式 e(r1,r2)e(r11,r2)e(r1,r221). （2） 巴斯噶在此用了全概率公式，即考虑若再赌一局，有“A胜”、“B胜”两种可能。巴斯噶由(1)、(2)出发，依次算出e(2,1),e(1,2),e(3,1),e(1,3),e(3,2),e(2,3),„，对其值进行观察，综合出一般解的形式： r21e(r1,r2) Ci0r1r21i2(r1r21). （3） 为了证明，先验证(3)适合边界条件(1)，这并不难。巴斯噶用归纳法证明(3)适合(2)，也很容易，读者可以一试。 费尔马的解法有所不同，不妨设r1r2。为A最终取胜,所再赌的局数可能为r1,r11,„，r1r21(完备事件群)，期间B取胜的局数i0,1,,r21。若B胜i局，则到A最终取胜止再赌了r1i局，其中前r1i1局中A胜r11局，而第r1i局为A胜。这事件的概率为 Cr1112ri1(r1i1)21Cr1112ri1(r1i). 在得到这一结果时已用到了二项式定理及概率乘法定理。对i0,1,,r21相加，得(3)。 r21e(r1,r2)Ci0r1i1r112(r1i). （4） 这里隐含了使用概率加法定理。由以上可以看出，巴、费二人在当时已了解并使用了我们现今初等概率计算中得主要工具。（3）、（4）两个解在形式上很不一样，但不难由一个化到另一个，这一工作留给读者。 2 本文来源：https://www.dywdw.cn/013666609b6648d7c1c746ef.html
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2022-03-26
