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常德市六中高一数学竞赛培训资料 ——函数与方程（2） 基础知识：指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。 一、 指数概念与对数概念： 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1．指数运算性质主要有3条： ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 2．对数运算法则（性质）也有3条： （1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN （3）logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3．指数运算与对数运算的关系： X=alogax；mlogan=nlogam 4．负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=1 5．对数换底公式及其推论： 1 换底公式：logaN=logbN/logba 推论1：logamNn=(n/m)logaN 推论2： 三、指数函数与对数函数 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是： （1）定义域为全体实数（-∞，+∞） （2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0 （3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。 （4）单调性是：当a>1时为增函数；当0时，为减函数。
（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。 （6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a） （7）抽象性质：f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是： （1）定义域为正实数（0，+∞） （2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。 （4）单调性是：当a>1时是增函数，当0时是减函数。
（5）无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称，y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。 （6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)， f(x·y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)
例题：
1. 化简:
2
(1) ; (2)
;
(3)
.
2. 若
，求
.
3. 计算
.
4. 试比较
与的大小.
3
5. 已知函数f(x)=log+ax (a>0,a≠1,x∈R)若x+
1,x2∈R,试比较
与
的大小.
6. 已知y1=，y2=，当x为何值时,
(1)y1=y2 ; (2)y1>y2 ; (3)y1<y2.
7. 对于自然数a,b,c (a≤b≤c) 和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w
(1)求证：a+b=c.
8. 已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3
4
(2)
9. 设f(x)=logax (a>0,a≠1)且
10. 已知0<a<1,x2+y=0，求证：
(θ为锐角)，求证：1<a<15.
.
11．a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b的值。
12. 设f(x)=min(3+
，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值。
13. 函数
的最小值。
5
14. 解方程： x+log2(2x-31)=5 。
15．设a>0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内。
16．解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)。
17. 当a为何值时，不等式
有且只有一解。
18．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1)，
（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；（4）求它的反函数f-1(x)。
6
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2022-08-13
