高中概率知识要点

2022-04-12 14:03:22 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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概率知识要点

一、随机事件的概率

1 事件的有关概念

（1）必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。简称必然事件

（2）不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。简称不可能事件

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。简称随机事件

（5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C,…,表示 2 随机试验

对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验

一个试验如果满足下述条件：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；

（2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；

（3）每次试验总是出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果

我们称这样的试验为随机试验 3 频数、频率和概率

（1）频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。

（2）频率：在相同条件S下重复n次试验，时间A出现的比例fn(A)

nA

称为事件A出现的n

频率

（3）概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 4 事件的运算关系包含关系相等关系

定义

对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）

若BA且AB，则称事件A与事件B相等

符号表示

BAAB

A=B

并事件（和事件）某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 AB(或AB) 交事件（积事件）某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 AB(或AB)

5 互斥事件与对立事件

（1）互斥事件A与事件B互斥：AB为不可能事件，即AB，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

（2）对立事件A与事件B互为对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 概率的几个基本性质

（1）概率P（A）的取值范围：0P(A)1.

（2）必然事件E的概率为1 ，即P(E)1 （3）不可能事件F的概率为0. 即 P(F)0. .

（4）若事件A与事件B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

（5）事件B与事件A互为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)=P(A)+P(B)=1，从而P(A)=1 - P(B)

二、古典概型

1、古典概型的概念（1）基本事件

一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件（2）基本事件的特点

①任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。 ②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和

（3）古典概型的定义

①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有两个：①有限性；②等可能性 2、古典概型的概率计算公式

一般地，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概率都是如果事件A包含的结果有m个，那么事件A发生的概率P(A)

1，n

A包含的基本事件个数m



总的基本事件个数n

三、几何概型

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

构成事件A的测度（面积或体积）

（2）几何概型的概率公式： P(A)

试验的全部结果所构成的总测度（面积或体积）

（3）几何概型的特点：

①无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等

四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率

1、条件概率

(1)条件概率的定义：设A,B为两个事件，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率记作P(BA),读作“A发生的条件下B的概率”

注意：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(BA)相当于把A看做新

n(AB)

n(AB)P(AB)n()

的基本事件空间来计算AB发生的概率，即P(BA) n(A)n(A)P(A)n()

(2)条件概率的性质 ①0P(BA)1

②如果B和C事两个互斥事件，则P(BCA)P(BA)P(CA)

2、事件的独立性（1）相互独立事件

设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(BA)=P(B),这是我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。

一般地，当事件A,B相互独立时，A与B,A与B, A与B也都相互独立

3、独立重复试验

（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。

（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p，

kknk

那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cnp(1p)，

k=1,2,…,n

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