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对一道数学题的展开 赖友志 在数学复习教学中,选好一道例题。通过一题多思,一题多解,一题多讲。可以巩固学生知识,训练学生思维,开拓学生视野。 例题:已知x,y∈R+且法一:均值不等式法 x,yR191xy1x91,求x+y的最小值。 y6xy⑴19(当且仅当即y9x时取等号)xyxy6xy⑵⑶又xy2 (当且仅当xy时取等号)xy12xy的最小值是12此题答案有误。因为⑴,⑵式的等号不能同时成立,所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误,只不过扩大了x+y的范围。此种推导在选择题时,其选择项若是6,8,12,16,当可排除6,8,12得16。 1 此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。 法2,1的妙用 191xy19y9xxy(xy)()1016xyxy y9x当且仅当时即x4,y12时取等号xy111又如a,b,cR,abc1,求证(1)(1)(1)8 abc111再如a,b,c是不等正数且abc1,求证abc abc法3,构造x+y不等式法 19xy102由1得(x1)(y9)9()可得 xy2变式:已知x+xy+4y=5 (x,y∈R+)求xy取值范围 法4,换元后构造均值不等式法 199由1得y9(x1)xyx19所以xyx9x19 10x1x1169(当且仅当x1即x4时取等号)x1 2 法5,用判别式法 199x由1得y(x1)xyx19xx28x令xyz,则zxx1x1得关于x的二次方程x2(8z)xz0z8(8z)24z可由△(8z)4z0且02解得z的范围从而得到xy的最小值。2 注意实根分布情况讨论。 类似地,如2x+y=6,求的范围也可用判别式法。 法6,三角代换法 令19(cos)2,(sin)2,xy1x1y 2则xy(sec)+(9csc)210(tan)29(cot)216a2b2变:00,b>0,则的最小值 x1x法7,导数法 9(x1),z0中,x4 x1(在区间内有一个极值点,此极值必为最值)zx9以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。 2005年1月 3 本文来源:https://www.dywdw.cn/198c5ffd770bf78a652954ab.html