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研究四位数的雷劈数 首先，何为雷劈数呢？雷劈数：有位叫卡普利加的印度数学家。他在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，电闪雷鸣过后，他看到路边一块牌子，被雷电劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。这时，卡普利加的脑中忽然发现了一个绝妙的数学关系：30+25=55 55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普利加数”或“雷劈数”。 现在我们来计算一下有哪些四位数是雷劈数： 设一个四位数是abcd,则由上面的定义可得， (10a+b+10c+d)^2=1000a+100b+10c+d (b+d)^2-d=10m(m∈Z) （b,d）=(0,1),(0,5),(0,6),(4,4),(8,1) 下面分五种情况来讨论： 1. 当(b,d)=(0,1)时， (10a+10c+1)^2=1000a+10c+1 10(a+c)^2=98a-c 10|98a-c,2|c 又98a-c<900,所以a+c<10 则（a,c）所有可能的情况为(1,8),(2,6),(3,4),(4,2),经验证可知均不符合条件。 2．当(b,d)=(0,5)时， 10(a+c)^2=90a-9c-2 10|9c+2,推出c=2 a^2-5a+6=0,a=2或3 所以2025,3025是雷劈数。 3.当(b,d)=(0,6)时， 10(a+c)^2+3=11(8a-c) a+c<9 又10|11(8a-c)-3 所以(a,c)所有情况为(1,5),(2,3),(3,1),经验证可知均不符合条件。 4．当(b,d)=(4,4)时， 10(a+c)^2=84a-15c+34 10 | 84a-6 所以a=4或9，经验证可知均不符合条件。 5．当(b,d)=(8,1)时， 10(a+c)^2=82a-17c+72 10|82a-17c-8 2|c 所有可能的(a,c)为(4,0),(1,2),(3,4),(2,8),经验证可知均不符合条件。 综上可得，四位数的雷劈数只有2025和3025。 本文来源：https://www.dywdw.cn/1f8faa0e52ea551810a68797.html
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2023-12-23
